개금동 개금고등학교 수학과외
근호를 고립한 뒤 제곱하는 과정에서 끊긴 논리
개금동에서 수학 과외를 받던 학생은 제시된 무리방정식 풀이의 오류 지점을 찾는 문제를 풀며, 계산 결과보다 각 줄 사이의 관계가 어떻게 이어지는지를 살펴보게 되었다. 가야벽산아파트 인근에서 진행한 수업에서 학생은 풀이를 처음부터 한 줄씩 따라가며 근호가 한쪽에 홀로 놓이는 순간을 표시했다.
결과는 적었지만 직전 식이 빠진 서술형 답안
학생의 풀이에는 근호를 한쪽으로 옮긴 다음 양변을 제곱한 결과가 적혀 있었다. 그러나 실제로는 제곱하기 직전의 관계식이 생략되어 있었다. 예를 들어 √(x+1)=x-1에서 바로 제곱한 식을 쓰기보다, 먼저 근호를 고립한 식이 정확히 성립하는지 보여 주어야 한다. 학생은 마지막 계산값은 구했지만, 어떤 식을 양변 제곱했는지 드러내지 않아 서술형 채점에서 풀이의 연결이 끊겼다.
학생은 처음에는 제곱한 뒤의 식만 핵심이라고 생각했다. 이에 답을 보지 않은 상태에서 근호가 포함된 식, 근호를 한쪽에 둔 관계식, 양변을 제곱한 식을 순서대로 다시 적었다. 각 줄에서 새로 사용한 변형이 무엇인지 표시하자, 단순 계산 결과와 제곱하기에 필요한 직전 조건을 구분할 수 있었다.
근호를 제곱하기 전에는 근호가 한쪽에 정확히 고립되어 있는 관계식을 먼저 남겨야 한다.
정답 후보 없이 계산과 조건을 직접 결정한 적용
이후에는 정답 선택지가 없는 새로운 무리방정식을 제시했다. 학생은 먼저 근호를 한쪽으로 옮긴 뒤, 양변 제곱이 가능한 형태인지 확인하고 계산을 진행했다. 제곱한 식에서 얻은 값은 원래 식에 다시 대입해 근호식이 실제로 성립하는지 검산했다. 단순히 제곱한 식의 해를 그대로 답으로 옮기지 않고 원식의 조건까지 확인한 점이 이전 풀이와 달라졌다.
마지막에는 근호를 한쪽에 고립할 수 없는 상태에서 바로 양변 제곱을 적용하면 안 되는 경우도 함께 구별했다. 학생은 해당 단계가 성립하지 않는 식을 보고, 먼저 식을 정리해야 한다고 판단했다. 이를 통해 근호 고립, 양변 제곱, 원래 식 검산의 순서를 문제 형태에 따라 스스로 선택할 수 있는지 확인했다.