부산북구 금곡고등학교 수학과외







로그를 합치기 전에 두 진수의 범위를 먼저 세운 풀이
금곡고등학교 수학 과외에서 한 학생은 로그의 덧셈을 곧바로 하나의 로그로 바꾸는 데 익숙했지만, 식 안의 진수가 실제로 양수가 되는지 확인하는 과정은 자주 생략했습니다. 서술형 문제에서는 계산 결과뿐 아니라 그 계산이 가능한 조건까지 제시해야 했기에, 풀이의 중간 판단을 다시 살펴보았습니다.
곱셈 법칙보다 먼저 적어야 했던 조건
문제는 다음 식을 만족하는 실수 \(x\)를 구하는 것이었습니다.
\(\log_2(x-1)+\log_2(x+3)=3\)
학생은 중간식 옆에 두 진수에 대한 값을 따로 적어 두었지만, 그것이 단순한 계산 메모인지 로그의 정의역을 정하는 조건인지 구분하지 못했습니다. 실제로는 로그법칙을 적용하기 전에
\(x-1>0,\quad x+3>0\)
을 확인해야 하며, 두 조건을 함께 만족하는 범위는 \(x>1\)입니다. 그 뒤에야
\(\log_2\{(x-1)(x+3)\}=3\)
으로 바꾸어 \( (x-1)(x+3)=8 \)을 얻을 수 있습니다.
빠진 한 줄을 조건의 출발점까지 되돌려 쓰기
처음 서술형 답안에는 \(x>1\)이라는 결과와 이차방정식의 해만 남아 있었고, 왜 그 범위가 나오는지는 드러나지 않았습니다. 그래서 답을 보지 않은 상태에서 다음 순서만 한 줄씩 재구성했습니다.
- 첫 번째 진수에서 \(x-1>0\)을 세운다.
- 두 번째 진수에서 \(x+3>0\)을 세운다.
- 두 조건의 공통 범위가 \(x>1\)임을 정한다.
- 그 범위 안에서만 로그의 곱셈 법칙을 적용한다.
이후 방정식을 풀면 \(x=-1\pm2\sqrt3\)이 나오지만, \(x>1\)을 만족하는 해는 \(x=-1+2\sqrt3\) 하나뿐입니다. 계산으로 얻은 두 후보와 처음 세운 허용 범위를 분리해 기록하면서, 조건이 단순한 부가 메모가 아니라 해를 판정하는 기준임을 확인했습니다.
나눗셈 형태에서도 순서를 스스로 정한 적용
새 문항에서는 식의 모양을 바꾸어
\(\log_3(2x-1)-\log_3(x-2)=1\)
을 제시했습니다. 학생은 이번에는 계산부터 시작하지 않고 \(2x-1>0,\ x-2>0\)을 먼저 적어 공통 범위 \(x>2\)를 정했습니다. 이어서
\(\log_3\left(\frac{2x-1}{x-2}\right)=1\)
에서 \(2x-1=3(x-2)\)를 세워 \(x=5\)를 구했습니다.
마지막으로 \(x=5\)를 원식에 대입해 두 진수가 각각 \(9\), \(3\)으로 양수인지 확인하고, \(\log_3 9-\log_3 3=2-1=1\)이 되는지 검산했습니다. 계산 결과와 정의역 조건을 따로 점검한 뒤에야 최종 답으로 확정하는 풀이가 완성되었습니다.