기장군 정관고등학교 수학과외
로그를 풀기 전에 답의 범위를 좁힌 과정
정관고등학교 학생과 문제를 검토하던 중, 로그방정식의 계산보다 먼저 각 로그의 진수가 양수가 되어야 한다는 조건을 놓치지 않는 것이 핵심인 문항을 만났다. 학생은 문제에서 요구하는 값을 네모로 표시한 뒤, 그 값이 진수에 어떤 식으로 들어가는지부터 추적했다.
예를 들어 진수가 \(x-2\)라면 \(x-2>0\), 즉 \(x>2\)가 먼저 성립해야 한다. 학생은 이렇게 부등식으로 가능한 범위를 정리하면서 방정식을 만족할 후보를 줄여 나갔다. 다만 후보를 찾은 뒤에는 그 값이 실제 로그방정식에도 들어맞는지 확인해야 하는데, 처음에는 이 마지막 판단이 약했다.
가능한 값과 실제 해를 구분하지 못한 장면
선택지를 검토하던 학생은 진수 조건에 맞는 후보를 발견하자 곧바로 정답으로 확정하려 했다. 그러나 해당 조건은 로그가 정의되기 위한 필요조건일 뿐, 방정식 전체를 만족한다는 뜻은 아니었다. 후보를 원래 식에 대입하지 않은 탓에 진수는 양수지만 등식은 성립하지 않는 선택지를 걸러내지 못했다.
이후에는 풀이를 두 단계로 나누었다. 먼저 모든 로그의 진수가 양수라는 부등식을 세워 허용 범위를 정하고, 그다음 범위 안의 후보를 원래 방정식에 대입했다. 교정 과정에서는 “로그를 계산하기 전에 입력값이 정의되는 구간을 제한하는 것”이라고 자신의 표현으로 설명하게 했다. 이를 통해 부등식 작성 절차만 외운 것이 아니라 그 이유까지 이해했는지 확인했다.
진수 조건은 해를 확정하는 식이 아니라, 로그방정식을 검토할 수 있는 값의 범위를 먼저 정하는 기준이다.
표현이 바뀐 문항에서 다시 세운 조건
다음에는 앞서 보았던 식을 반복하지 않고, 로그의 밑과 진수의 표현을 바꾼 문제를 제시했다. 학생은 새로운 식에서 각 진수를 따로 찾아 양수 조건을 세운 뒤, 여러 부등식이 동시에 성립하는 공통 범위를 직접 만들었다. 이전 풀이를 복사하지 않고도 진수마다 조건을 확인해 가능한 값을 제한했다.
마지막에는 수치나 선택지 없이 일반적인 로그방정식을 제시하고, 어떤 값이 해가 되려면 먼저 모든 진수가 양수여야 하며 그 조건을 만족한 뒤 원래 등식까지 검증해야 한다고 정리했다. 특히 진수 조건을 하나 제거하면 허용 범위가 넓어져 잘못된 후보가 포함될 수 있다는 점을 설명하게 하면서, 조건의 역할을 일반 원리로 판단하는지 확인했다.