부산남산동 남산고등학교 수학과외
중간값을 근거로 이어 가는 함숫값 계산
남산고등학교 학생은 서술형에서 계산 결과만 적는 대신, 왜 해당 관계식을 먼저 사용했는지 설명해야 하는 문제를 풀고 있었다. 부산남산동에서 진행한 수업에서도 첫 줄에 “함수와 역함수의 대응 관계를 이용해 주어진 값을 바꾼다”라고 적은 뒤 계산을 시작했다.
찾은 후보를 정답으로 확정하기 전 놓친 확인
문제의 조건이 f(a)=b라면 a를 함수에 넣었을 때 b가 나온다는 뜻이고, 같은 관계를 역함수로 나타내면 f⁻¹(b)=a가 된다. 학생은 이 두 식을 이용해 함숫값을 구하는 데까지는 도달했지만, 그 결과가 다음 계산의 근거가 되는 과정을 충분히 연결하지 못했다.
선택지를 검토할 때에도 조건에 맞는 후보를 찾은 뒤 바로 답으로 정했다. 그러나 후보가 실제로 f(a)=b를 만족하는지, 역으로 f⁻¹(b)=a가 되는지 대입해 보지 않아 반례 하나를 걸러내지 못했다. 관계식의 방향은 맞아 보였지만 두 조건을 모두 만족하지 않는 선택지를 정답으로 확정한 것이다.
두 방향의 대응을 나누어 적은 교정
이후에는 한 칸에 f(a)=b를, 다른 칸에 f⁻¹(b)=a를 적고 각각의 입력과 출력이 어떻게 바뀌는지 따로 계산했다. 예를 들어 f(2)=5를 알고 있다면 함수에서는 2가 5로 대응하고, 역함수에서는 5가 2로 대응한다는 점을 나란히 확인했다. 이렇게 구분하자 함수의 입력과 역함수의 입력을 뒤섞어 다음 식의 근거로 삼는 실수가 줄었다.
f(a)=b와 f⁻¹(b)=a는 서로 다른 계산 결과가 아니라, 입력과 출력의 대응을 반대 방향에서 나타낸 같은 관계이다.
표현을 바꾼 관계식에서 중간값을 직접 만들기
새 문항에서는 앞서 보았던 식을 그대로 복사하지 않고, 주어진 조건 하나는 유지한 채 나머지 표현을 바꿔 관계를 세우게 했다. 학생은 새로 제시된 f(p)=q를 보고 역함수에서는 f⁻¹(q)=p라고 직접 구성한 뒤, 그 중간값이 다음 계산에서 어떤 근거가 되는지 적었다.
마지막에는 선택지 없이 관계식을 완성하게 하고, 함수 방향과 역함수 방향을 각각 역순으로 설명하게 했다. 학생은 중간에 얻은 값이 단순한 계산 결과가 아니라 다음 단계의 입력을 정하는 값임을 짚었고, 두 식이 서로 맞바뀐 관계인지 대입으로 확인하며 답을 확정했다.