근화동 고등수학과외

근화동 고등수학과외에서 미분 단원을 다룰 때 학생들이 자주 놓치는 장면은 극댓값과 구간 전체의 최댓값을 같은 말처럼 처리하는 경우다.

도함수는 구했지만 판단 문장에서 처음 어긋난 부분

학생은 함수 f(x)=x³-13x의 극대·극소를 구하면서 먼저 f′(x)=3x²-13이라고 적었다. 이어서 3x²-13=0에서 x=±√(13/3)을 얻었지만, 중간 줄에 “최대·최소는 임계점에서 결정된다”라고만 기록했다. 이 문장이 첫 오류였다. 임계점은 극값의 후보이지, 주어진 구간 전체에서 가장 큰 값이나 가장 작은 값이라고 곧바로 확정할 수 없다.

또 음의 임계점과 양의 임계점을 구별하지 않은 채 두 점을 모두 ‘최대·최소’라고 묶어 썼다. 하지만 f′(x)의 부호는 x<-√(13/3)에서 양수, 두 임계점 사이에서 음수, x>√(13/3)에서 다시 양수다. 따라서 x=-√(13/3)에서는 증가에서 감소로 바뀌어 극대, x=√(13/3)에서는 감소에서 증가로 바뀌어 극소가 된다.

극값 후보와 구간 끝점을 한 표에 넣기

교정할 때는 복잡한 보조선을 먼저 그리지 않고, 보조선의 목적을 한 줄로 적게 했다. “임계점은 모으고, 끝점과 함께 함수값을 비교한다.” 그 뒤 학생은 부호변화를 직접 표시하지 않은 채 다음 방식으로 풀이를 다시 구성했다.

f′(x)=0에서 얻은 두 점의 함수값은

f(-√(13/3))=26/3√(13/3),　f(√(13/3))=-26/3√(13/3)

이다. 따라서 첫 번째 값은 국소적인 극댓값, 두 번째 값은 국소적인 극솟값이다. 다만 구간이 제시되면 끝점의 함수값도 반드시 같은 목록에 넣어야 한다. 예를 들어 [-3,3]에서 f(-3)=12, f(3)=-12이고, 임계점은 모두 구간 안에 있다. 그러므로 이 구간의 전체 최댓값은 26/3√(13/3), 전체 최솟값은 -26/3√(13/3)이다. 반대로 닫힌 구간이 없고 실수 전체를 묻는다면 이 삼차함수에는 전체 최댓값과 전체 최솟값이 없다. 양끝에서 함수값이 각각 음의 무한대와 양의 무한대로 뻗기 때문이다.

구간을 바꾼 뒤 혼자 적용한 문제

같은 함수를 [-2,4]에서 조사하게 하자. 이번에는 음의 임계점 -√(13/3)≈-2.08이 구간 밖이고, 양의 임계점 √(13/3)≈2.08만 들어온다. 학생은 임계점 하나의 값과 양 끝점 값을 비교했다.

f(-2)=-8+26=18, f(4)=64-52=12이며, f(√(13/3))=-26/3√(13/3)이다. 세 값을 비교하면 전체 최댓값은 18, 전체 최솟값은 -26/3√(13/3)이다. 처음처럼 임계점만 보고 답했다면 최댓값 18을 놓치게 되므로, 구간이 바뀌었을 때 후보 목록도 달라진다는 점을 확인할 수 있다.

마지막에는 원식에 다시 넣어 부호를 점검한다

검산에서는 도함수 계산을 반복하지 않고 얻은 x값을 원래 함수에 재대입했다. 음의 임계점에서 양의 함수값, 양의 임계점에서 음의 함수값이 나오는지 확인하고, [-2,4]의 끝점 값과 비교해 순서가 뒤집히지 않았는지 살폈다. 특히 -√(13/3)은 약 -2.08이므로 [-2,4]에 들어가지 않는다는 사실도 함께 확인했다. 후보를 계산한 뒤 구간 포함 여부를 다시 보는 과정이 최종 답의 오류를 막았다.

현재 학습에서 함께 살펴볼 범위

고등 수학

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자주 묻는 질문

• 임계점의 함수값은 항상 구간 전체 최댓값인가요?
  아니다. 끝점의 함수값과 함께 비교해야 한다.
• f′(x)=0인 점만 찾으면 극대·극소를 구할 수 있나요?
  부호변화나 증가·감소를 확인해야 극대와 극소를 구분할 수 있다.
• 실수 전체에서 이 함수의 최댓값을 구할 수 있나요?
  구할 수 없다. 삼차항 때문에 양끝의 함수값이 제한 없이 커지고 작아진다.
• 임계점이 구간 밖에 있으면 계산하지 않아도 되나요?
  구간 전체 최댓값·최솟값을 구하는 문제라면 후보에서 제외하고, 구간 안의 임계점과 끝점만 비교한다.