근화동 중3수학과외

근화동 중3수학과외에서 확인한 그래프의 최댓값과 최솟값

근화동과외 수업에서 학교 프린트의 그래프 문제를 함께 살펴보았습니다. 이번에는 여러 개념을 넓히지 않고, 주어진 범위와 예외 조건에 따라 그래프에서 최댓값과 최솟값을 판단하는 방법만 다뤘습니다.

그래프보다 먼저 확인했어야 할 한 줄

프린트에는 다음과 같은 문제가 있었습니다.

함수 y=x²-4x+3의 그래프에서 1≤x≤5일 때 y의 최댓값과 최솟값을 구하여라.

학생은 그래프에 표시된 가장 낮은 점을 보고 “최솟값은 -1”이라고 적었습니다. 실제로 x=2일 때 y=-1이므로 이 판단은 맞았습니다. 이어서 오른쪽 끝 x=5에서 y=8을 계산하고, “양쪽 끝 중 x=5의 값이 더 크므로 최댓값은 8”이라고 썼습니다. 여기까지도 계산은 정확했습니다.

그런데 같은 프린트의 다음 문항에서 조건이 1≤x<5로 바뀌자, 학생은 그래프 모양만 보고 똑같이 “최댓값은 8”이라고 답했습니다. x=5에서 그래프의 높이가 8이라는 사실만 보고, 그 점이 실제로 선택 가능한지 확인하지 않은 것입니다. 이때 가장 먼저 어긋난 판단은 계산 실수가 아니라 끝점의 포함 여부를 읽지 않고 그래프의 모양만으로 최댓값을 단정한 것이었습니다.

끝점의 위치와 조건을 직접 대응하기

오류를 고칠 때 전체 풀이를 다시 바꾸지는 않았습니다. 이미 맞았던 식의 대입과 계산은 그대로 두고, 끝점 하나를 조건과 대조하는 행동만 수정했습니다.

• x=1이면 y=1-4+3=0
• x=2이면 y=4-8+3=-1
• x=5이면 y=25-20+3=8

조건이 1≤x≤5라면 x=5가 포함되므로 y=8을 최댓값으로 선택할 수 있습니다. 그러나 1≤x<5라면 x=5는 허용되지 않습니다. 그래프에 x=5의 위치가 그려져 있어도 그 점을 문제의 범위 안에 있는 값으로 사용할 수 없습니다. 따라서 이 조건에서는 x가 5보다 작은 곳에서 y가 8에 가까워질 수 있지만, x=5에서 얻는 8을 최댓값이라고 쓸 수 없습니다. 핵심은 그래프의 높이를 먼저 읽는 것이 아니라, 그 높이에 대응하는 x가 조건에 포함되는지 확인하는 것입니다.

학생은 프린트 여백에 다음처럼 기준을 짧게 적었습니다.

그래프의 가장 높은 위치를 바로 고르지 말고, 그 위치의 x가 조건에 포함되는지 식과 함께 확인한다.

표로 제시된 경우에도 같은 기준 적용하기

며칠 뒤에는 식이나 곡선 없이 표로 조건이 제시된 문제를 풀었습니다.

x	-3	-1	0	2	4
y	5	1	0	4	5

문제는 “-3≤x≤4인 표에서 최댓값과 최솟값을 구하라”였습니다. 학생은 표의 양끝에 같은 값 5가 있다는 것을 확인하고 최댓값 5, 최솟값 0이라고 설명했습니다. 이어 조건이 “-3<x≤4”로 바뀐 경우에는 x=-3의 행을 제외해야 하므로, 남은 값 중 최댓값은 x=4에서의 5라고 판단했습니다. 반대로 “-3≤x<4”라면 x=4의 행을 제외하므로 최댓값은 x=-3에서의 5입니다. 숫자를 새로 계산한 것이 아니라, 조건의 위치와 표의 좌표를 직접 대응한 것입니다.

힌트 없이 다시 확인한 장면

마지막에는 다음 문제를 별도의 표시나 질문 없이 제시했습니다.

어떤 함수의 그래프가 x=-2에서 y=6, x=1에서 y=-3, x=4에서 y=2를 지나고, 문제의 범위가 -2<x≤4일 때 표에 나타난 세 점 중 최댓값과 최솟값을 정하여라. 단, 표시된 세 점만 비교한다.

학생은 먼저 “-2는 작은 쪽 경계지만 포함되지 않으므로 y=6은 제외한다”고 말했습니다. 그다음 포함되는 x=1과 x=4의 값만 남겨 y=-3이 최솟값, y=2가 최댓값이라고 썼습니다. 마지막으로 x=1을 그래프의 점에 다시 대응시켜 y=-3인지, x=4를 대입해 y=2인지 확인했습니다.

이번 풀이에서 중요한 변화는 그래프의 모양을 무시한 것이 아닙니다. 그래프에서 눈에 보이는 높이를 읽되, 그 높이에 대응하는 좌표가 주어진 범위와 예외 조건 안에 있는지 먼저 확인한 뒤 최댓값과 최솟값을 결정한 점입니다.