근화동 고등수학과외
근화동 고등수학과외에서 미분 단원을 다룰 때 학생들이 자주 놓치는 장면은 극댓값과 구간 전체의 최댓값을 같은 말처럼 처리하는 경우다. 춘천고등학교와 춘천여자고등학교의 학교자료를 참고해 학습하더라도, 문제의 조건을 읽고 임계점과 구간 끝점을 따로 확인하는 풀이 습관이 필요하다. 방축거리와 석사4거리 생활권 학생의 실제 풀이에서는 계산보다도 ‘어떤 값을 비교해야 하는가’를 구분하는 데 시간이 걸렸다.
도함수는 구했지만 판단 문장에서 처음 어긋난 부분
학생은 함수 f(x)=x³-13x의 극대·극소를 구하면서 먼저 f′(x)=3x²-13이라고 적었다. 이어서 3x²-13=0에서 x=±√(13/3)을 얻었지만, 중간 줄에 “최대·최소는 임계점에서 결정된다”라고만 기록했다. 이 문장이 첫 오류였다. 임계점은 극값의 후보이지, 주어진 구간 전체에서 가장 큰 값이나 가장 작은 값이라고 곧바로 확정할 수 없다.
또 음의 임계점과 양의 임계점을 구별하지 않은 채 두 점을 모두 ‘최대·최소’라고 묶어 썼다. 하지만 f′(x)의 부호는 x<-√(13/3)에서 양수, 두 임계점 사이에서 음수, x>√(13/3)에서 다시 양수다. 따라서 x=-√(13/3)에서는 증가에서 감소로 바뀌어 극대, x=√(13/3)에서는 감소에서 증가로 바뀌어 극소가 된다.
극값 후보와 구간 끝점을 한 표에 넣기
교정할 때는 복잡한 보조선을 먼저 그리지 않고, 보조선의 목적을 한 줄로 적게 했다. “임계점은 모으고, 끝점과 함께 함수값을 비교한다.” 그 뒤 학생은 부호변화를 직접 표시하지 않은 채 다음 방식으로 풀이를 다시 구성했다.
f′(x)=0에서 얻은 두 점의 함수값은
f(-√(13/3))=26/3√(13/3), f(√(13/3))=-26/3√(13/3)
이다. 따라서 첫 번째 값은 국소적인 극댓값, 두 번째 값은 국소적인 극솟값이다. 다만 구간이 제시되면 끝점의 함수값도 반드시 같은 목록에 넣어야 한다. 예를 들어 [-3,3]에서 f(-3)=12, f(3)=-12이고, 임계점은 모두 구간 안에 있다. 그러므로 이 구간의 전체 최댓값은 26/3√(13/3), 전체 최솟값은 -26/3√(13/3)이다. 반대로 닫힌 구간이 없고 실수 전체를 묻는다면 이 삼차함수에는 전체 최댓값과 전체 최솟값이 없다. 양끝에서 함수값이 각각 음의 무한대와 양의 무한대로 뻗기 때문이다.
구간을 바꾼 뒤 혼자 적용한 문제
같은 함수를 [-2,4]에서 조사하게 하자. 이번에는 음의 임계점 -√(13/3)≈-2.08이 구간 밖이고, 양의 임계점 √(13/3)≈2.08만 들어온다. 학생은 임계점 하나의 값과 양 끝점 값을 비교했다.
f(-2)=-8+26=18, f(4)=64-52=12이며, f(√(13/3))=-26/3√(13/3)이다. 세 값을 비교하면 전체 최댓값은 18, 전체 최솟값은 -26/3√(13/3)이다. 처음처럼 임계점만 보고 답했다면 최댓값 18을 놓치게 되므로, 구간이 바뀌었을 때 후보 목록도 달라진다는 점을 확인할 수 있다.
마지막에는 원식에 다시 넣어 부호를 점검한다
검산에서는 도함수 계산을 반복하지 않고 얻은 x값을 원래 함수에 재대입했다. 음의 임계점에서 양의 함수값, 양의 임계점에서 음의 함수값이 나오는지 확인하고, [-2,4]의 끝점 값과 비교해 순서가 뒤집히지 않았는지 살폈다. 특히 -√(13/3)은 약 -2.08이므로 [-2,4]에 들어가지 않는다는 사실도 함께 확인했다. 후보를 계산한 뒤 구간 포함 여부를 다시 보는 과정이 최종 답의 오류를 막았다.
자주 묻는 질문
- 임계점의 함수값은 항상 구간 전체 최댓값인가요?
아니다. 끝점의 함수값과 함께 비교해야 한다. - f′(x)=0인 점만 찾으면 극대·극소를 구할 수 있나요?
부호변화나 증가·감소를 확인해야 극대와 극소를 구분할 수 있다. - 실수 전체에서 이 함수의 최댓값을 구할 수 있나요?
구할 수 없다. 삼차항 때문에 양끝의 함수값이 제한 없이 커지고 작아진다. - 임계점이 구간 밖에 있으면 계산하지 않아도 되나요?
구간 전체 최댓값·최솟값을 구하는 문제라면 후보에서 제외하고, 구간 안의 임계점과 끝점만 비교한다.