근화동 고3수학과외

독립인지 아닌지, 경계에서 다시 확인한 한 장면

근화동 생활권에서 수능형 확률 문항을 풀던 학생의 오답노트에는 다음 한 줄이 남아 있었다. “서로 겹치지 않으므로 독립이다.” 춘천고3수학과외 수업에서 이 문장을 다시 읽은 뒤, 학생은 답을 고치는 대신 어디서 판단이 바뀌었는지 거꾸로 추적했다. 문제의 조건은 주사위 한 개를 던져 나온 수를 표본공간으로 하고, 사건 A를 “짝수가 나온다”, 사건 B를 “3의 배수가 나온다”로 두는 것이었다.

학생은 처음에 A={2, 4, 6}, B={3, 6}을 적은 뒤, 두 사건이 한 원소 6에서 만난다는 사실을 놓쳤다. 더 정확히 말하면 A∩B={6}을 확인하지 않은 채, A와 B를 각각 따로 계산하고 독립 여부를 판단하려 했다. 이때의 최초 오류는 확률 계산이 아니라 교집합을 확인하지 않은 것이었다. 독립의 판정식은 단순히 두 사건의 모양을 보는 것이 아니라

P(A∩B)=P(A)P(B)

를 비교해야 한다. 실제로 P(A)=1/2, P(B)=1/3, P(A∩B)=1/6이므로 이 경우에는 독립이다. 하지만 학생이 사용한 “겹치면 독립이 아니다”라는 규칙은 이 문제의 결론과도 맞지 않았고, 일반적인 판단 기준으로도 사용할 수 없었다.

결론이 바뀌는 선을 먼저 표시하다

교정할 때 학생은 풀이 전체를 다시 쓰지 않았다. 사건마다 원소를 나열한 뒤, 교집합을 별도 칸에 적고 그 옆에 곱셈값을 놓았다.

• A={2,4,6}, P(A)=1/2
• B={3,6}, P(B)=1/3
• A∩B={6}, P(A∩B)=1/6
• P(A)P(B)=1/6

이 네 줄을 통해 “겹침의 유무”와 “독립 여부”를 분리했다. 이어 조건이 달라질 때 결론이 바뀌는 경계도 표시했다. 예를 들어 B를 “홀수가 나온다”로 바꾸면 B={1,3,5}이고 A∩B는 공집합이다. 이때 P(A∩B)=0이지만 P(A)P(B)=1/4이므로 독립이 아니다. 서로 배반인 두 사건은 양의 확률을 가질 때 독립일 수 없다는 사실이 계산으로 드러났다.

학생은 여기서 사건의 정의와 확률조건을 섞지 않기 위해, 사건을 먼저 확정하고 확률은 그다음에 계산했다. 특히 독립을 확인할 때는 교집합을 빠뜨리지 않도록 표시를 남겼고, 조건부확률을 사용한다면 P(A|B)=P(A∩B)/P(B)에서 분모가 B의 확률인지 확인하기로 했다. 근화동과외에서 이 장면을 재현할 때도 계산량보다 이 경계 표시를 먼저 점검하는 방식으로 풀이를 정리할 수 있다.

표로 바뀐 문제에서 같은 판단을 꺼내다

다음 날에는 식 대신 다음과 같은 표가 제시된 문제를 풀었다. 한 학급 학생 20명 중 안경을 쓴 학생은 8명, 그중 남학생은 3명이었다. 남학생은 10명이고, 여학생 중 안경을 쓴 학생은 5명이었다. 사건 A를 “남학생”, 사건 B를 “안경을 쓴 학생”으로 둘 때 독립인지 판단하는 문제였다.

학생은 곧바로 전체 인원 20을 기준으로 A와 B를 계산하지 않고, 표에서 A∩B에 해당하는 칸을 먼저 찾았다. P(A∩B)=3/20, P(A)=10/20=1/2, P(B)=8/20=2/5이므로 P(A)P(B)=1/5이다. 두 값이 다르므로 독립이 아니다. 조건부확률로 확인하면 P(B|A)=3/10인데 P(B)=2/5와 다르다는 점에서도 같은 결론이 나온다.

이번에는 앞 문제의 주사위 수치를 기억해서 답할 수 없었다. 표의 자료 제시 순서가 바뀌었지만, 학생은 “교집합 칸 확인 → 각 사건의 확률 계산 → 곱과 비교”라는 행동을 스스로 복원했다. 또한 남학생이라는 조건 아래에서는 표본공간이 20명이 아니라 10명으로 줄어든다는 점을 설명했다. 조건부확률의 분모를 전체 인원으로 두지 않은 것이다.

경계 전후를 시험한 최종 확인

100분 실전 세트의 마지막 독립 문항에서는 사건 A와 B가 매개변수에 따라 달라졌다. 학생은 정답을 먼저 보지 않고, 결론이 바뀔 수 있는 경계를 찾았다. 표에서 A∩B의 개수가 0이 되는 경우와, P(A∩B)=P(A)P(B)가 되는 경우를 나누어 적은 뒤 매개변수의 경계 바로 왼쪽과 오른쪽에 해당하는 두 표를 각각 검사했다.

한쪽에서는 교집합이 없어져도 두 사건의 확률이 모두 양수라 곱은 0이 아니었고, 독립이 아니었다. 다른 쪽에서는 교집합의 비율이 두 주변 확률의 곱과 정확히 일치해 독립이 되었다. 학생은 결론만 표시하지 않고 “왜 이 경계에서 값이 달라지는가”를 사건의 원소 변화와 연결했다. 마지막으로 조건의 순서를 바꾼 문항에서 P(A|B)와 P(B|A)를 구분하고, 각각의 분모가 달라진다는 사실을 다시 확인했다.

춘천고3수학과외 학습 기록에 남은 변화는 독립의 정의를 외운 것이 아니었다. 새로운 표나 조건이 나와도 먼저 사건과 교집합을 분리하고, 경계 전후의 경우를 나눈 뒤, 곱셈식 또는 조건부확률식으로 결론을 역추적했다는 점이다. 학생은 마지막 답안에 “겹치는가가 아니라 교집합의 확률이 곱과 같은가를 확인한다”고 적었고, 힌트 없이도 같은 판단 순서를 끝까지 유지했다.