만촌동 고등수학과외

만촌동 고등수학과외에서는 절댓값 부등식을 공식 암기보다 식의 구조와 거리 의미를 연결해 다룬다. 동문고등학교와 대륜고등학교 학생들이 자주 참고하는 만촌1차우방타운 주변 생활권에서도 문제를 풀 때, 계산 결과만 적기보다 어느 순간에 판단이 바뀌었는지 기록하게 한다. 이번 장면의 출발점은 \(x^2-1268>1\)이다.

제곱식에서 절댓값을 읽는 순간

학생은 먼저 \(x^2-1268>1\)을 보고 양변에 1268을 더해 \(x^2>1269\)를 얻었다. 여기까지는 정확했다. 그런데 다음 줄에 “\(x^2\)는 절댓값으로 바꿀 수 있으므로 \(|x-1268|>1\)”이라고 적었다. 상수 1268이 식 안에서 이동해야 할 값인지, 제곱의 기준점과 관련된 값인지 구분하지 않은 채 절댓값 부등식 후보를 확정한 것이다.

이 한 줄 때문에 원래 식의 거리 의미가 사라졌다. \(x^2>1269\)는 수직선에서 \(x\)와 0 사이의 거리가 \(\sqrt{1269}\)보다 크다는 뜻이다. 따라서 기준점은 1268이 아니라 0이며, 양쪽 방향을 모두 살펴야 한다. 제곱은 음수와 양수를 똑같이 만들기 때문에 한 방향만 남겨서는 해를 완성할 수 없다.

처음 틀린 줄을 다시 고치기

풀이 노트에는 다음처럼 세 문장을 나누어 적었다.

• \(x^2-1268>1\)
• \(x^2>1269\), 여기서 \(1269>0\)
• \(|x|>\sqrt{1269}\), 즉 0에서 \(\sqrt{1269}\)보다 먼 수

마지막 문장은 두 갈래로 풀어야 한다. \(x>\sqrt{1269}\) 또는 \(x<-\sqrt{1269}\)이므로 해는 \((-\infty,-\sqrt{1269})\cup(\sqrt{1269},\infty)\)이다. 부등호가 등호가 아닌 까닭도 함께 확인했다. 경계값 \(x=\sqrt{1269}\)를 넣으면 원래 식이 \(1\)이 되어 \(1>1\)을 만족하지 않기 때문이다.

제곱식의 부등식에서 절댓값을 사용할 때는 ‘무엇과 무엇 사이의 거리인가’를 먼저 쓴다. \(x^2\)는 \(|x|\)와 연결되지만, \(x^2-1268\) 전체가 곧 \(|x-1268|\)가 되는 것은 아니다.

조건을 바꾼 문제에서 혼자 선택하기

다음에는 식을 그대로 보지 않고 조건을 하나 바꿔 \(x^2-1268>1\)에 \(x>0\)을 추가했다. 학생은 이전 풀이를 베끼지 않고 먼저 \(x^2>1269\)를 만든 뒤, 양수 조건을 교집합으로 처리했다. 원래 제곱 부등식의 두 영역 중 \(x>0\)에 해당하는 부분만 남으므로 답은 \(x>\sqrt{1269}\)이다.

이번에는 절댓값 기호를 억지로 붙이지 않고, 제곱근의 양의 값과 추가 조건을 분리해 사용했다. 만약 조건이 \(x<0\)이었다면 반대로 \(x<-\sqrt{1269}\)만 남는다. 조건이 해의 방향을 정하는지, 식 자체가 이미 양쪽 해를 포함하는지 구분하는 연습이다.

한쪽 해만 적었을 때 생기는 반례

학생이 “\(x>\sqrt{1269}\)”만 답으로 제출했다고 가정하고 \(x=-36\)을 대입했다. \(36^2=1296\)이므로 \(x^2-1268=28\), 따라서 \(28>1\)이 성립한다. 그런데 \(-36\)은 \(x>\sqrt{1269}\)에 들어가지 않는다. 한쪽 방향만 본 답이 실제 해를 누락했다는 반례가 즉시 드러난다.

반대로 \(x=36\)도 원래 부등식을 만족한다. 두 수의 부호는 다르지만 제곱값은 같다는 점이 양쪽 해의 근거가 된다. 마지막 검산에서는 변형한 절댓값식만 확인하지 않고 원식 \(x^2-1268>1\)에 양의 해와 음의 해를 각각 다시 대입했다. 이 과정을 거치면 거리 해석, 부등식 방향, 해의 누락 여부를 한 번에 점검할 수 있다.

현재 학습에서 함께 살펴볼 범위

고등 수학

현재 수강 과목과 시험 범위를 먼저 확인하고 개념, 식의 변형, 함수와 그래프, 문제 조건의 해석을 연결합니다. 선택 과목은 실제 이수 범위에 맞춰 준비하며 내신 답안과 모의고사 풀이 시간은 구분해 점검합니다.

수업 진행 예시

식의 변형을 다시 확인하기

x² + 5x + 6을 (x + 2)(x + 3)으로 인수분해한 뒤 직접 전개해 원래 식이 되는지 확인합니다. 방정식으로 풀 때와 단순히 식을 변형할 때의 목적도 구분합니다.

조건 때문에 제외되는 값 찾기

분모가 x − 2인 식에서는 x = 2를 사용할 수 없습니다. 풀이에서 얻은 후보가 처음 조건에 맞는지 확인하고, 약분이나 식의 변형 뒤에도 처음의 제한 조건을 남깁니다.

위 내용은 지도 범위와 연습 방법을 설명하는 예시입니다. 학생이 이미 배운 내용과 현재 진도에 맞춰 적용하며, 모든 내용을 한 수업에서 진행하지 않습니다.

수업 진행 안내

상담 → 선생님 연결 → 첫 수업 → 정규 수업

학생의 학습 상황을 상담하고, 선생님과 수업 방식이 맞는지 확인한 뒤 시간·횟수·비용을 정합니다. 숙제 확인과 보호자 피드백은 학생별로 조율하며, 보강과 일정·선생님 변경이 가능합니다.

고등 과외 수업료

월 수업료 · 주 2회 기준

학교급	방문 수업	화상 수업
고등	33~50만 원	30~46만 원

회당 수업 시간에 따라 금액이 달라집니다. 주당 횟수와 회당 시간, 최종 월 수업료는 상담에서 정합니다.

주 1회부터 주 3회 이상까지 횟수를 조율할 수 있습니다. 같은 회당 시간으로 주 1회 진행할 경우, 위 주 2회 금액의 절반이 기준입니다.

수업 이용에 관한 자주 묻는 질문

수업 준비와 비용·보강에 관한 안내도 함께 확인해 주세요.

자주 묻는 질문

왜 \(x^2>1269\)에서 바로 \(x> \sqrt{1269}\)라고 하면 안 되나요?

음수도 제곱하면 양수가 되므로 \(x<-\sqrt{1269}\)인 경우가 함께 존재한다.

왜 \(|x-1268|\)로 바꾸면 안 되나요?

\(|x-1268|\)은 수직선에서 1268과 x 사이의 거리다. 원래 식의 제곱은 0을 기준으로 한 거리와 연결된다.

경계값은 왜 해에서 제외하나요?

\(x=\pm\sqrt{1269}\)를 넣으면 좌변이 정확히 1이 되어 \(1>1\)을 만족하지 않는다.

추가 조건 \(x>0\)은 언제 적용하나요?

제곱 부등식의 전체 해를 먼저 확인한 뒤, 주어진 조건과 겹치는 부분만 남기는 방식이 안전하다.