만촌동 고2수학과외
속도 적분에서 부호를 놓친 순간
서술형 답안의 첫 문장에는 “물체의 이동거리는 속도를 적분한 값이므로 0이다”라고 적혀 있었다. 그러나 이 결론은 변위와 이동거리를 혼동한 결과였다. 만촌동과외 수업에서는 계산보다 먼저 적분값의 의미를 구분하는 데 집중했다.
학생 풀이 기록
시간 구간을 0≤t≤4, 속도를 v(t)=t-2라 하자.
\[ \int_0^4 v(t)\,dt =\int_0^4(t-2)\,dt =\left[\frac{t^2}{2}-2t\right]_0^4 =0 \]
학생은 이 값을 곧바로 “이동거리 0”이라고 해석했다.
부호가 의미하는 것
v(t)=0인 시각은 t=2이다. 0≤t<2에서는 속도가 음수이고, 2<t≤4에서는 속도가 양수다. 따라서 물체는 먼저 한쪽 방향으로 이동한 뒤 방향을 바꾼다.
속도의 정적분은 방향을 포함한 위치 변화, 즉 변위이다.
\[ \text{변위}=\int_0^4v(t)\,dt=0 \]
반면 이동거리는 속도의 절댓값을 적분해야 한다.
\[ \text{이동거리} =\int_0^4|v(t)|\,dt =\int_0^2(2-t)\,dt+\int_2^4(t-2)\,dt =2+2=4 \]
교정된 해석 확인
최종 위치는 출발 위치와 같으므로 변위는 0이지만, 실제로는 총 4만큼 움직였다. 따라서 “정적분값이 0이므로 이동거리도 0이다”라는 문장은 틀렸다.
올바른 설명은 다음과 같다.
- 속도 정적분: 변위
- 속도 절댓값의 정적분: 이동거리
보기에서 오류 찾기
다음 보기 중 옳지 않은 것은 ③이다.
- 속도가 음수인 구간에서는 기준 방향과 반대로 움직인다.
- 속도의 정적분은 위치 변화량을 나타낸다.
- 속도의 정적분값이 0이면 물체는 움직이지 않았다.
- 속도의 부호가 바뀌면 이동거리를 계산할 때 구간을 나누어야 한다.
③은 변위가 0이라는 사실을 이동거리 0으로 잘못 바꾼 문장이다. 적분 계산 뒤에는 반드시 속도의 부호 변화와 문제에서 요구한 값이 변위인지 이동거리인지 확인해야 한다.