만촌동 고3수학과외

답에서 거꾸로 되짚은 로그방정식의 첫 어긋남

만촌동의 한 학습 공간에서 학생은 로그방정식 오답을 다시 펼쳐 놓고 정답지의 마지막 줄부터 거꾸로 올라갔다. 계산 과정의 숫자는 대부분 맞았지만, 답이 성립하지 않는 이유를 찾으려면 마지막 결과보다 첫 판단을 확인해야 했다. 풀이 줄마다 ‘이 식을 세운 근거’를 짧게 적게 하자, 세 번째 줄이 아니라 첫 줄에서 표시가 멈췄다.

log₂(x-1)=log_x4

학생은 처음에 양변의 로그를 없애며 x-1=4라고 적었다. 밑이 같을 때만 로그의 일대일성을 바로 적용할 수 있는데, 이 식에서는 왼쪽 밑이 2이고 오른쪽 밑이 x였다. 그 뒤 x=5를 얻고 원식에 대입하지 않은 채 답으로 정리한 것이 최초의 판단 오류였다. 뒤에서 계산한 과정이 틀린 것이 아니라, 서로 다른 밑의 로그를 같은 함수처럼 취급한 선택이 출발점이었다.

풀이 줄을 역방향으로 복원하다

해설을 가린 뒤 학생에게 마지막 결론에서 한 줄씩 거꾸로 설명하게 했다. x=5라는 후보를 원식에 넣으면 왼쪽은 log₂4=2, 오른쪽은 log₅4이므로 같지 않다. 따라서 후보 자체가 탈락한다. 이 대입을 하고 나서야 학생은 첫 줄 옆에 ‘밑이 같은가?’를 적지 않았다는 사실을 발견했다.

교정은 복잡하지 않았다. 먼저 로그의 정의조건을 적고, 밑이 같은지 확인한 다음 함수관계를 식으로 바꾸게 했다. 이 문제에서는 오른쪽을 밑 변환하면

log_x4 = 2/log₂x

이므로 단순히 x-1=4로 둘 수 없다. 또한 x-1>0, x>0, x≠1이라는 조건도 함께 남겨야 한다. 학생은 해설의 다음 줄을 보지 않고 이 조건과 밑의 관계만으로 풀이를 다시 구성했다. 핵심은 풀이 전체를 고치는 것이 아니라, 잘못된 첫 함수관계를 지우고 그 줄부터 다시 세우는 일이었다.

조건의 위치를 바꾼 변형에서

다음에는 결론을 먼저 제시한 역문제를 사용했다.

log₃(x+2)=log_x9의 풀이에서 x=7을 얻었다. 이 결론이 가능한지, 가장 먼저 점검할 줄을 찾아라.

이번에는 학생이 계산부터 이어 가지 않고 x+2>0, x>0, x≠1을 먼저 적었다. 이어 log_x9를 2log_x3으로 읽을 수는 있지만, 왼쪽의 밑 3과 오른쪽의 밑 x가 다르다는 점을 확인했다. x=7을 원식에 넣었을 때 좌변은 log₃9=2가 아니고 log₃9는 실제로 2이지만, 우변 log₇9와 같지 않으므로 결론은 검증되지 않는다. 학생은 ‘계산 결과가 나왔다’와 ‘원식의 해다’를 분리했다.

특히 이번 문제는 정의조건을 풀이 중간이 아니라 결론을 판단하기 전 첫 줄에 배치했다. 만촌동고3수학과외 학습에서 강조할 만한 지점도 바로 이 순서다. 로그방정식에서는 밑과 진수의 조건, 두 로그의 함수관계를 먼저 판별해야 뒤의 대수 조작이 의미를 갖는다.

다음 날, 힌트 없이 남은 판단

다음 날에는 식의 모양을 바꿔

log_x(x+3)=log₂8

을 제시했다. 학생은 오른쪽을 3으로 계산한 뒤 곧바로 x+3=8이라고 쓰지 않았다. 먼저 x>0, x≠1, x+3>0을 적고, 양변의 밑이 다르므로 진수만 같게 놓을 수 없다고 말했다. 이후 밑 변환이나 지수 형태로 관계를 세운 뒤 얻은 후보를 반드시 원식에 다시 넣겠다고 설명했다.

답을 맞혔는지보다 중요한 것은 오류 위치를 스스로 역추적했는지였다. 학생은 “첫 줄에서 밑의 동일성을 확인하지 않은 것이 원인이고, 후보 대입은 마지막 확인”이라고 정리했다. 동문고등학교와 대륜고등학교가 포함된 생활권에서 고3 수학을 지도할 때도 이런 방식의 복기는 풀이를 외운 것과 실제 판단이 남은 것을 구별하게 한다. 만촌동과외 수업에서도 오답의 마지막 숫자보다 첫 함수관계와 조건을 먼저 표시하게 하면, 새로운 로그방정식에서도 같은 점검이 재현되는지를 확인할 수 있다.