복대동 중등수학과외

복대동중등수학과외, 동전과 회전판의 44가지 결과에서 1/44를 확인하는 방법

동전의 앞면·뒷면이 같은 확률로 나오고, 1부터 22까지의 숫자가 같은 확률로 나오는 회전판을 서로 독립으로 시행하는 문제를 생각해 보겠습니다. 먼저 물어보는 것은 전체 결과의 수이고, 이어서 앞면과 숫자 1이 함께 나올 확률을 묻습니다. 기본 문제를 설명할 수 있어도 두 번째 문제에서 무엇이 그대로이고 무엇이 바뀌었는지 판단하기 어려울 수 있습니다. 이때는 공식을 더 외우기보다 결과를 순서쌍으로 보며, 모든 결과가 같은 가능성을 갖는 조건을 확인하는 것이 중요합니다.

동전 결과와 회전판 결과를 한 쌍으로 세기

기본 문제에서는 동전의 결과가 앞면, 뒷면으로 2가지이고 회전판의 결과가 1, 2, 3, …, 22로 22가지입니다. 한 번의 시행 결과는 ‘앞면과 1’, ‘앞면과 2’처럼 동전 결과와 회전판 결과가 함께 정해진 순서쌍입니다. 따라서 전체 경우의 수는 2×22=44가지입니다. 나무그림을 그릴 때 첫 갈래를 앞면과 뒷면으로 나누고, 각 갈래 아래에 1부터 22까지를 적으면 각 갈래에 22개씩, 모두 44개가 놓입니다. 여기서 2+22=24라고 더하는 것은 두 선택을 한꺼번에 했을 때의 결과 수를 세지 못하는 식입니다. 두 선택이 결합되므로 곱셈이 필요합니다.

새 질문에서는 ‘한 결과’를 고르는 조건을 표시하기

비교 문제는 전체 경우의 수를 다시 묻지 않고 ‘앞면과 숫자 1이 함께 나올 확률’을 묻습니다. 동전이 두 면 중 어느 한 면에 치우치지 않고, 회전판의 22개 숫자도 같은 확률로 나오며, 두 시행이 서로 영향을 주지 않는다는 조건은 유지됩니다. 달라진 점은 44가지 전체 결과 가운데 원하는 결과를 세어야 한다는 점입니다. 중복 체크표에서 앞면 행과 숫자 1 열이 만나는 칸은 ‘앞면, 1’ 한 칸뿐이므로 원하는 경우는 1가지입니다. 전체 44가지가 같은 확률이므로 확률은 1/44입니다. 복대동중등수학과외 수업에서도 이처럼 ‘전체 결과 44가지’와 ‘그중 조건을 모두 만족하는 결과 1가지’를 다른 표시로 구분하면 경우의 수와 확률이 섞이지 않습니다.

독립 조건을 계산 전과 계산 뒤에 확인하기

또 다른 계산은 P(앞면)×P(숫자 1)=1/2×1/22=1/44입니다. 이 곱셈은 동전 결과가 회전판 숫자가 나올 가능성을 바꾸지 않는, 즉 두 시행이 독립이라는 조건 때문에 사용할 수 있습니다. 계산 뒤에는 1/44가 0과 1 사이인지 확인하고, 순서쌍 44개 중 정확히 한 쌍만 골랐다는 나무그림의 확인과도 맞춰 봅니다. 다음에는 풀이를 시작하기 전에 “기본 문제와 비교 문제에서 달라진 것은 무엇인가?”, “회전판 결과와 동전 결과는 서로 독립인가?”를 근거와 함께 말해 보게 합니다. 전체 경우를 먼저 정한 뒤 원하는 칸을 스스로 표시하고 1/44를 구하면 다음 조건의 변형 문제로 넘어갈 수 있으며, 첫 단계를 고르기 어려워하면 어느 조건에서 멈추었는지부터 확인해 필요한 설명을 이어 갈 수 있습니다.