복대동 중2수학과외

확률을 계산하기 전, 무엇을 기준으로 셀 것인가

학생은 여사건을 이용하면 계산이 짧아진다는 점은 알고 있었지만, 계산식을 쓰기 전에 경우를 정리하는 순서에서 자주 멈췄다.

“적어도 한 번 성공할 확률은 전체에서 실패할 확률을 빼면 되니까, 실패하는 경우부터 세면 돼요.”

새 문제는 주머니에서 공을 두 번 꺼낼 때 적어도 한 번 빨간 공이 나올 확률을 구하는 내용이었다. 학생은 문제에서 주어진 공의 종류와 꺼내는 횟수에 밑줄을 긋고, ‘적어도 한 번’이라는 표현에는 동그라미를 쳤다. 이어 성공하는 경우를 직접 나열하려고 빨강-빨강, 빨강-파랑, 파랑-빨강을 적었다.

그런데 빨강-파랑과 파랑-빨강을 구분하지 않은 채 같은 경우처럼 묶었고, 빨강-빨강을 성공 경우에 한 번 더 적었다. 학생은 그 상태에서 원하는 경우를 세어 전체 경우로 나누려 했다. 계산 결과가 이상해진 뒤에야 식을 고쳤지만, 실제로 처음 어긋난 지점은 계산 실수가 아니었다.

계산보다 먼저 고친 한 가지 판단

학생이 처음 잘못 선택한 것은 두 번의 선택에서 순서를 구분해야 하는지 판단하지 않고 경우를 세기 시작한 것이었다. 두 번 꺼내는 과정에서는 첫 번째 결과와 두 번째 결과가 각각 자리를 가지므로, 빨강-파랑과 파랑-빨강은 서로 다른 경우로 기록해야 했다. 이 기준을 정하지 않은 채 여사건을 만들면서 같은 경우가 겹쳤다.

교정은 하나만 적용했다. 학생에게 전체 경우를 바로 계산하게 하지 않고, 두 단계의 결과를 표로 한 번씩만 적게 했다.

• 첫 번째 결과를 행에 적고 두 번째 결과를 열에 적는다.
• 각 칸에 빨강-빨강, 빨강-파랑, 파랑-빨강, 파랑-파랑을 한 번씩 쓴다.
• ‘적어도 한 번 빨강’의 반대인 ‘두 번 모두 파랑’ 칸만 여사건으로 표시한다.

학생은 표의 네 칸을 확인한 뒤, 원하는 사건을 직접 세는 대신 파랑-파랑 한 칸을 제외하는 방식으로 식을 세웠다. 이때 이미 적어 둔 문제의 조건은 그대로 유지하고, 경우를 중복 없이 나누는 과정만 바꾸었다. 계산 후에는 여사건의 확률을 전체 확률에서 빼는지, 두 확률의 합이 1이 되는지도 적어 확인했다.

표로 바꾼 독립 적용

다음 문제에서는 표현을 바꾸었다. 주사위를 한 번 던지는 문제가 아니라, 세 종류의 카드 중 하나를 첫 번째 상자에서 뽑고 두 번째 상자에서 다른 카드를 뽑는 상황이 제시되었다. 질문도 ‘성공할 확률’이 아니라 ‘두 상자에서 모두 조건에 맞지 않을 확률’을 구하라는 형태였다.

학생은 이번에는 식부터 쓰지 않았다. 첫 번째 상자의 결과를 가로로, 두 번째 상자의 결과를 세로로 놓은 표를 만들고, 각 칸에 두 선택의 조합을 표시했다. 조건에 맞지 않는 조합만 색칠한 뒤 그 칸들의 확률을 더했다. 이어 문제에서 요구한 것이 여사건 자체인지, 여사건을 이용해 원래 사건을 구해야 하는지 문장을 다시 읽고 표시했다.

숫자만 바꾼 문제가 아니라 선택의 순서와 질문의 방향이 달라졌지만, 학생은 표에서 각 경우를 한 번만 세는 기준을 먼저 세웠다. ‘모두 조건에 맞지 않음’이 원래 사건의 반대인지도 문장으로 설명한 뒤 계산을 진행했다.

힌트 없이 다시 세운 기준

수업 끝에 학생은 별도의 표시나 질문 없이 새로운 두 단계 선택 문제를 받았다. 학생은 문제의 ‘적어도 한 번’에 밑줄을 긋고, 곧바로 “반대 사건은 두 번 모두 일어나지 않는 경우”라고 말했다. 이어 첫 번째와 두 번째 결과를 표의 행과 열에 배치하고, 각 조합을 한 칸씩만 기록했다.

학생은 “순서를 구분하지 않으면 첫 번째와 두 번째 결과가 뒤섞여 중복될 수 있으므로 표를 먼저 만든다”고 풀이 이유를 설명했다. 마지막에는 계산한 확률이 0과 1 사이인지 확인하고, 원래 사건과 여사건의 확률을 더해 1이 되는지도 검산했다. 복대동과외 수업에서 시작한 이 장면은 복대동중2수학과외에서 같은 기준을 새로운 표현의 문제에 스스로 적용한 최종 확인이 되었다.