부산중동 중3수학과외
부산중동 중3수학과외에서 살펴본 인수분해의 첫 판단
부산중동과외 수업에서 한 학생의 풀이를 거꾸로 확인해 보았습니다. 부산광역시립해운대도서관 인근 생활권이나 코오롱아파트가 있는 생활권에서 자습할 때 적어 둔 풀이였고, 동백중학교가 포함된 생활권의 문제를 연습하던 중이었습니다. 문제는 다음과 같았습니다.
x²－11x＋24를 인수분해하여라.
학생은 완성된 풀이를 먼저 읽은 뒤, 마지막 줄부터 계산을 되짚었습니다.
(x－3)(x－8)이라고 적고, “3×8=24이므로 맞다”고 판단했습니다. 이어서 괄호를 전개해 x²－11x＋24가 나오는지도 확인했지만, 이 과정은 결과를 확인하는 단계일 뿐 최초 판단이 어디서 어긋났는지는 설명하지 못했습니다.
전개 결과보다 앞에 있었던 선택
이 식은 x²－(a＋b)x＋ab 꼴로 볼 수 있습니다. 여기서 a와 b는 단순히 곱해서 24가 되는 두 수가 아니라, 곱이 24이고 합이 11이 되는 두 수여야 합니다. 또 가운데항이 음수이므로 두 수는 모두 양수입니다.
학생이 처음 표시한 내용은 다음과 같았습니다.
- 3×8=24이므로 상수항 조건 확인
- −3−8=−11이라고 잘못 기록
- 따라서 (x−3)(x−8) 선택
실제로 −3−8은 −11이지만, 이 괄호를 전개하면 가운데항은 −8x−3x=−11x가 됩니다. 겉으로는 맞아 보입니다. 그러나 학생의 최초 오류는 이 문제에서 요구되는 두 수를 “부호가 붙은 항의 수”로 혼동한 데 있었습니다. x²−11x＋24에서 괄호의 형태는 (x−a)(x−b)이고, a＋b=11, ab=24를 확인해야 합니다. 이 경우 3과 8은 그 조건을 만족하므로 결론 자체는 맞지만, 학생이 적은 “−3과 −8의 합”이라는 설명은 기준을 잘못 세운 것입니다. 이후 다른 문제에서 이 설명을 그대로 적용하면 부호가 뒤집힐 수 있습니다.
필요한 한 줄만 고쳐 보기
전체 풀이를 다시 쓰지 않고, 최초 선택 앞에 조건을 나누어 적도록 했습니다.
ab=24, a＋b=11인 두 수를 찾는다.
a=3, b=8이므로 x²−11x＋24=(x−3)(x−8).
이미 맞았던 곱셈 계산은 그대로 두고, “−3과 −8을 찾는다”는 표현만 “3과 8의 곱과 합을 확인한다”로 바꾼 것입니다. 마지막에는 (x−3)(x−8)=x²−11x＋24로 전개하여 원식과 비교했습니다. 이때 핵심은 새로운 계산법이 아니라, x²−(a＋b)x＋ab 꼴에서 a＋b와 ab를 각각 확인하는 선택입니다.
모양을 바꾼 독립 연습
다음에는 중간 풀이를 가린 채 식의 모양을 바꾸어 제시했습니다.
다음 빈칸을 채워 식을 인수분해하여라.
x²＋13x＋40=(x＋□)(x＋□)
이번에는 상수항 40만 보고 5와 8을 고르는 데서 멈추지 않았습니다. 가운데항이 ＋13x이므로 괄호 안의 두 수는 합이 13이어야 하고, 상수항이 ＋40이므로 곱은 40이어야 합니다. 5＋8=13, 5×8=40이므로
x²＋13x＋40=(x＋5)(x＋8)
이라고 적었습니다. 처음 문제처럼 음수 부호가 괄호 앞에 제시된 형식이 아니라, 빈칸의 부호까지 결정해야 하는 형식이었지만 같은 기준을 적용했습니다. 어느 수가 먼저 와도 곱과 합은 같으므로 (x＋8)(x＋5)도 같은 인수분해입니다.
힌트 없이 남긴 마지막 검산
며칠 뒤에는 다음 문제만 제시하고 별도의 조건을 알려 주지 않았습니다.
x²－x－20을 인수분해하여라.
학생은 먼저 x²－(a＋b)x＋ab 꼴과 비교했습니다. −(a＋b)=−1이므로 a＋b=1, ab=−20이어야 합니다. 곱이 음수이므로 두 수의 부호가 다르고, 합이 1인 조합은 5와 −4입니다. 따라서
x²−x−20=(x−5)(x＋4)
라고 풀이했습니다. 이어서 “5＋(−4)=1, 5×(−4)=−20이므로 조건을 만족한다”고 설명한 뒤, 직접 전개했습니다.
(x−5)(x＋4)=x²＋4x−5x−20=x²−x−20
원식과 전개 결과가 일치하는지까지 스스로 비교하면서, 특정 숫자를 외운 것이 아니라 가운데항의 합과 상수항의 곱을 기준으로 인수를 선택했음을 확인했습니다. 이런 식으로 부산중동중3수학과외에서도 같은 세부개념 안에서 최초 판단과 검산을 함께 점검합니다.