부산중동 중2수학과외
부산중동 중2수학과외에서 살펴본 부등식의 첫 오류
부산중동과외 수업에서 학생은 동백중학교가 포함된 생활권의 시험 대비 문제를 풀다가 일차부등식 풀이가 친구의 답과 다르게 나온 상황을 가져왔다. 문제는 3x+5>14를 풀어 해를 나타내는 것이었다. 코오롱아파트와 부산광역시립해운대도서관이 있는 생활권에서 자주 접하는 생활 문제처럼, 계산 결과만 맞히는 것이 아니라 각 줄에서 부등식의 의미가 유지되는지 확인하는 데 초점을 두었다.
답을 거꾸로 읽으며 멈춘 한 줄
학생은 자신의 풀이와 친구의 풀이를 나란히 놓았다.
3x+5>14
3x>14+5
3x>19
x>19/3
친구의 풀이에는 두 번째 줄이 달랐다.
3x+5>14
3x>14-5
3x>9
x>3
처음에는 마지막 값인 19/3과 3 중 어느 것이 맞는지만 비교하려 했다. 그러나 학생은 완성된 풀이의 마지막 줄에서 출발해 각 줄을 앞줄에 대입하는 방식으로 거꾸로 읽었다. 3x>9에서 5를 다시 더하면 3x+5>14가 되므로 친구 풀이가 연결되었다. 반면 자신의 두 번째 줄 3x>14+5는 원래 식의 5를 없애는 과정에서 부호가 바뀐 것이 아니라 오히려 더해진 상태였다.
이때 확인된 최초의 오류는 마지막에 나눈 계산이 아니었다. 학생이 이항할 때 왼쪽의 +5를 오른쪽으로 옮기며 -5로 바꾸어야 한다는 판단을 놓친 순간이 먼저 어긋난 지점이었다. 이후의 19와 19/3은 그 잘못된 줄을 그대로 이어 계산한 결과였다.
이미 맞은 과정은 두고, 이항 한 줄만 고치기
교정에서는 풀이 전체를 새로 외우게 하지 않았다. 학생이 알고 있던 ‘양변에 같은 수를 더하거나 빼면 부등호 방향은 그대로’라는 과정은 유지했다. 양변에서 5를 빼는 표시를 직접 적게 했다.
3x+5>14
3x+5-5>14-5
3x>9
학생은 왼쪽에서 +5와 -5가 사라지고 오른쪽에는 14-5가 남는 것을 확인했다. 그 다음 양변을 3으로 나누어 x>3을 얻었다. 여기서는 양변을 양수 3으로 나누므로 부등호 방향을 바꾸지 않는다는 점도 짧게 확인했다. 3을 곱하면 다시 3x>9가 되고, 양변에 5를 더하면 3x+5>14가 되므로 원래 식으로 돌아가는 검산도 이어서 적었다.
식이 아닌 수직선과 문장으로 바꿔 보기
같은 개념을 숫자만 바꾼 식으로 반복하지 않고 표현을 바꾸었다. 학생에게 수직선에 3을 표시하고, 3은 해에 포함되는지 묻는 문제를 제시했다.
어떤 수 x에 5를 더한 값이 14보다 크다. 이 조건을 만족하는 x의 범위를 수직선으로 나타내라.
학생은 먼저 문장을 x+5>14로 옮겼다. 양변에서 5를 빼면 x>9라고 말하고, 수직선의 9에 열린 점을 찍은 뒤 오른쪽으로 선을 그었다. 9를 넣으면 9+5=14가 되어 ‘14보다 크다’를 만족하지 않으므로 열린 점이어야 한다고 설명했다. 이어 식을 보고 열린 점을 찍는 것이 아니라, 문장의 ‘보다 크다’가 경계값을 제외한다는 이유까지 덧붙였다.
이번에는 질문의 방향을 바꾸어 수직선에 2에서 열린 점, 오른쪽 방향의 표시가 주어졌을 때 부등식을 쓰게 했다. 학생은 x>2라고 쓴 뒤, 양변에 4를 더한 식이 x+4>6임을 설명했다. 부등식 양변에 같은 수를 더해도 방향은 변하지 않는다는 판단을 식과 그림 사이에서 다시 연결한 것이다.
힌트 없이 다시 확인한 판단
수업 끝에는 다음 문제를 별도의 표시 없이 풀게 했다.
7-2x≤1을 풀고, 경계값이 해에 포함되는지 설명하시오.
학생은 먼저 양변에서 7을 빼야 한다고 판단하여 7-2x-7≤1-7, 즉 -2x≤-6을 적었다. 그 뒤 음수 -2로 나눌 때에는 부등호 방향을 바꾸어 x≥3이라고 썼다. 처음 판단을 묻자 “항을 옮긴다고 바로 부호를 바꾸어 적지 않고, 양변에 같은 수를 실제로 더하거나 뺐다”고 답했다.
검산에서는 경계값 3을 원래 식에 넣어 7-6=1이므로 ≤ 조건에 포함된다고 확인했다. 또 x=4를 대입하면 -1≤1로 참이고, x=2를 대입하면 3≤1로 거짓이므로 해가 3 이상이라는 방향도 점검했다. 부산중동중2수학과외 수업에서 확인한 변화는 답 하나가 아니라, 식을 옮길 때 가장 먼저 어떤 연산을 선택했는지 스스로 말하고 검산하는 장면이었다.