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부산중동 고1수학과외

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부산중동 고1수학과외에서 확인한 행렬 곱의 순서

학생은 행렬 \(AB\)와 \(BA\)를 계산하면서 곱셈의 순서를 바꾸어도 결과가 같다고 생각했다. 숫자의 곱에서 익숙한 교환법칙을 행렬 곱에도 그대로 적용한 것이 최초의 오류였다.

문자의 자리를 바꾸지 않는 연산

두 행렬을 단순한 숫자처럼 보지 않도록 \(A\)는 왼쪽 행렬, \(B\)는 오른쪽 행렬이라고 여백에 표시했다. 이후 곱셈 기호 앞뒤의 순서를 유지한 채, 왼쪽 행렬의 행과 오른쪽 행렬의 열을 대응시켜 계산했다.

행렬 곱에서는 \(AB\)와 \(BA\)가 같은 식이라고 바꿔 쓸 수 없다.

예를 들어

\[ A=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}1&0\\3&1\end{pmatrix} \]

이면

\[ AB=\begin{pmatrix}7&2\\3&1\end{pmatrix},\quad BA=\begin{pmatrix}1&2\\3&7\end{pmatrix} \]

이므로 두 곱은 서로 다르다. 학생은 계산 전에 곱의 순서를 소리 내어 읽고, 각 결과의 성분이 어느 행과 어느 열에서 나왔는지 표시했다.

식이 아닌 상황으로 바꾸어 보기

다음에는 \(A\)를 ‘입력값을 먼저 변환하는 과정’, \(B\)를 ‘그다음 변환하는 과정’으로 해석했다. \(AB\)와 \(BA\)는 변환의 실행 순서가 달라질 수 있으므로, 질문이 바뀌면 행렬의 자리도 달라진다는 점을 확인했다.

  • \(AB\): \(B\)의 결과에 \(A\)를 적용하는 형태
  • \(BA\): \(A\)의 결과에 \(B\)를 적용하는 형태

마지막에는 처음 보지 못한 두 행렬의 곱에서 먼저 행렬의 크기를 확인한 뒤, \(AB\)와 \(BA\)를 각각 계산했다. 두 결과가 같다고 추측하지 않고 각 성분을 대응시켜 비교하면서, 행렬 곱의 순서를 보존해야 한다는 결론을 스스로 검증했다.

시작은 하지만 마무리가 어려울 때

오늘 할 범위를 페이지 끝으로만 정하지 말고 한 번에 집중할 수 있는 작은 묶음으로 나누어 보세요. 묶음 하나를 끝낸 뒤 남은 시간으로 다음 분량을 결정하면 무리한 계획을 확인하기 쉽습니다. 매일 미완성 표시만 남는다면 처음 정한 양부터 조정할 필요가 있습니다.

시험 결과를 상담에서 이야기할 때

총점만 전하기보다 실제 답안과 시험 범위, 준비에 사용한 자료를 함께 보여 주세요. 같은 점수라도 준비하지 못한 범위와 풀이 과정의 어려움은 다를 수 있습니다. 상담에서는 다음 시험까지 바꿀 행동을 한두 가지로 좁혀 기록해 두면 이후 공부를 점검하기 쉽습니다.

현재 학습에서 함께 살펴볼 범위

고등 수학

현재 수강 과목과 시험 범위를 먼저 확인하고 개념, 식의 변형, 함수와 그래프, 문제 조건의 해석을 연결합니다. 선택 과목은 실제 이수 범위에 맞춰 준비하며 내신 답안과 모의고사 풀이 시간은 구분해 점검합니다.

고1 점검 기준

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수업 진행 안내

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학생의 학습 상황을 상담하고, 선생님과 수업 방식이 맞는지 확인한 뒤 시간·횟수·비용을 정합니다. 숙제 확인과 보호자 피드백은 학생별로 조율하며, 보강과 일정·선생님 변경이 가능합니다.

고등 과외 수업료

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고등33~50만 원30~46만 원

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주 1회부터 주 3회 이상까지 횟수를 조율할 수 있습니다. 같은 회당 시간으로 주 1회 진행할 경우, 위 주 2회 금액의 절반이 기준입니다.

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부산중동 고1수학과외 수업 후기

학교 숙제가 나온 날 아이가 답을 적고 바로 채점하지 않더라고요. 문제에서 정한 범위나 조건이 빠진 건 없는지 답 옆을 다시 살펴본 뒤, 확인한 부분만 표시해 두고 나머지 자료는 한쪽으로 정리했어요. 부산중동 수학과외를 알아보던 때부터 이런 장면을 유심히 보게 됐는데, 단순히 답을 맞혔는지보다 문제에 맞게 풀었는지를 먼저 보는 모습이 인상에 남았습니다. 문제집 한 권을 끝내고 자료를 챙기던 날에도 비슷했어요. 전에는 복습할 때 아는 내용과 다시 봐야 할 부분을 구분하지 않고 한꺼번에 넘겼거든요. 그런데 그날은 답을 적은 다음 단위와 범위를 먼저 확인하고, 빠진 조건이 없는지 살핀 뒤에야 다음 자료로 넘어갔습니다. 답지보다 자기 풀이에서 확인할 곳을 먼저 찾고 있던 모습이 꽤 또렷했어요.

★★★★★수업 후기

수업이 없는 평일 저녁에도 아이가 계산을 끝낸 뒤 바로 답을 보지 않고, 처음 했던 과정과 다른 방법으로 마지막 결과를 다시 확인하더라고요. 확인한 흔적을 지우지 않은 채 책을 덮는 모습까지 보였습니다. 부산중동 수학과외 후기를 읽다가 떠올랐던 예전 모습과는 조금 달랐어요. 새 학기 첫 수학시험을 앞두고 공부하던 날에는 문제를 마무리하기 전에 계산 결과를 한 번 더 살폈습니다. 처음과 같은 줄을 반복한 게 아니라 다른 방식으로 확인하고 있었어요. 전에는 풀고 나서 마음에 걸리는 부분이 있어도 따로 표시를 남기는 일이 거의 없었는데, 이번에는 남은 의문을 표시해 두었습니다. 마지막에는 지워지지 않은 계산 흔적과 표시가 문제집에 그대로 남아 있었습니다.

★★★★☆수업 후기

새 단원 문제집을 처음 읽어보던 저녁, 아이가 방정식에서 나온 후보 해를 원래 식에 하나씩 넣어 보더라고요. 그냥 답을 적고 넘어가는 게 아니라 실제로 남길 값을 확인한 다음 그 부분을 지나 다음 문제로 넘어갔어요. 부산중동 수학과외 이야기를 나누면서도 집에서 보이는 이런 장면이 눈에 들어왔습니다. 새 단원 첫 숙제를 마친 뒤 책과 프린트를 치우던 중에도 같은 방식으로 확인하고 있었거든요. 전에는 복습할 때 문제 전체를 처음부터 다시 훑는 일이 많았는데, 이번에는 구한 값부터 원래 식에 대입해 맞는 해인지 따로 살펴보고 있었습니다.

★★★★★수업 후기

예전에는 한 문제에서 막히면 풀이를 다시 보지 않았는데, 이제는 수업 전에 질문할 문제를 골라 두고 선생님께 먼저 묻습니다. 부산중동에서 수학 과외를 시작한 뒤, 아이가 평일 귀가 후 책상에 앉는 모습이 조금 편안해졌습니다. 숙제도 무리하게 많이 내기보다 해낼 수 있는 양으로 나눠 주셔서, 밀린 날에도 할 수 있는 것부터 다시 시작하는 점이 인상적이었습니다.

★★★★★수업 후기

방학 첫 주에 공부 계획을 세우면서 부산중동 수학 과외 선생님께 물어볼 내용을 직접 적어 보게 됐습니다. 예전에는 집중이 끊기면 숙제부터 미뤘지만, 선생님이 진도와 부담되는 부분을 부모님과 조율해 주셔서 시작이 한결 편해졌습니다. 이제는 맞힌 문제도 풀이가 괜찮았는지 다시 살펴보는 습관이 조금씩 생겼습니다.

★★★★★수업 후기

선생님은 밀린 숙제를 한꺼번에 내지 않고 먼저 볼 문제를 정해 주며 이해했는지 천천히 확인해 주셨습니다. 부산중동에서 수학과외를 시작하기 전에는 틀린 문제를 다시 펼치는 것부터 부담스러워했고, 모르는 부분도 질문하지 않고 넘겼습니다. 수업 뒤에는 무엇을 복습해야 할지 스스로 정리하고, 틀린 문제를 봐도 예전처럼 굳은 표정을 짓지 않게 됐습니다.

★★★★☆수업 후기

학생별 1:1 수업 안내

수업은 학생별 1:1로 진행하며, 현재 학습 상태와 목표에 따라 수업 내용을 달리합니다.