부산중동 고1수학과외







부산중동 고1수학과외에서 확인한 행렬 곱의 순서
학생은 행렬 \(AB\)와 \(BA\)를 계산하면서 곱셈의 순서를 바꾸어도 결과가 같다고 생각했다. 숫자의 곱에서 익숙한 교환법칙을 행렬 곱에도 그대로 적용한 것이 최초의 오류였다.
문자의 자리를 바꾸지 않는 연산
두 행렬을 단순한 숫자처럼 보지 않도록 \(A\)는 왼쪽 행렬, \(B\)는 오른쪽 행렬이라고 여백에 표시했다. 이후 곱셈 기호 앞뒤의 순서를 유지한 채, 왼쪽 행렬의 행과 오른쪽 행렬의 열을 대응시켜 계산했다.
행렬 곱에서는 \(AB\)와 \(BA\)가 같은 식이라고 바꿔 쓸 수 없다.
예를 들어
\[ A=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}1&0\\3&1\end{pmatrix} \]
이면
\[ AB=\begin{pmatrix}7&2\\3&1\end{pmatrix},\quad BA=\begin{pmatrix}1&2\\3&7\end{pmatrix} \]
이므로 두 곱은 서로 다르다. 학생은 계산 전에 곱의 순서를 소리 내어 읽고, 각 결과의 성분이 어느 행과 어느 열에서 나왔는지 표시했다.
식이 아닌 상황으로 바꾸어 보기
다음에는 \(A\)를 ‘입력값을 먼저 변환하는 과정’, \(B\)를 ‘그다음 변환하는 과정’으로 해석했다. \(AB\)와 \(BA\)는 변환의 실행 순서가 달라질 수 있으므로, 질문이 바뀌면 행렬의 자리도 달라진다는 점을 확인했다.
- \(AB\): \(B\)의 결과에 \(A\)를 적용하는 형태
- \(BA\): \(A\)의 결과에 \(B\)를 적용하는 형태
마지막에는 처음 보지 못한 두 행렬의 곱에서 먼저 행렬의 크기를 확인한 뒤, \(AB\)와 \(BA\)를 각각 계산했다. 두 결과가 같다고 추측하지 않고 각 성분을 대응시켜 비교하면서, 행렬 곱의 순서를 보존해야 한다는 결론을 스스로 검증했다.
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