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부산중동 고2수학과외

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0이 들어간 배열에서 가장 먼저 확인할 조건

중복순열 문제를 풀 때 모든 자리에 같은 선택 수를 곱하면 편리하지만, 첫자리에 0이 올 수 있는지는 따로 확인해야 합니다. 예를 들어 부산중동과외 수업에서 다음 풀이 기록을 살펴보았습니다.

숫자 0, 1, 2, 3을 중복 사용하여 네 자리 수를 만들 때: 첫 자리 4가지, 나머지 세 자리도 각각 4가지이므로 4×4×4×4=256

풀이가 어긋난 지점

첫자리가 0이면 0123과 같은 배열은 네 자리 수가 아니라 세 자리 수로 해석됩니다. 따라서 첫자리는 0을 제외한 1, 2, 3 중에서 골라야 합니다.

첫자리 선택은 3가지, 나머지 세 자리는 각각 4가지이므로 정답은

3×43=192

0의 사용 횟수까지 제한하는 경우

조건이 추가되면 전체 배열을 한 번에 세기보다 첫자리와 나머지 자리를 분리하는 편이 안전합니다.

예시: 0을 정확히 한 번 사용하는 네 자리 수

숫자 0, 1, 2, 3을 중복 사용할 수 있고, 0을 정확히 한 번 포함하는 네 자리 수를 구해 보겠습니다.

  1. 첫자리는 1, 2, 3 중 하나이므로 3가지입니다.
  2. 나머지 세 자리 중 0이 들어갈 자리를 고르는 방법은 3가지입니다.
  3. 남은 두 자리는 1, 2, 3 중에서 각각 3가지씩 고릅니다.

따라서 경우의 수는

3×3×32=81

조건을 표로 점검하기

자리가능한 선택경우의 수
첫째 자리1, 2, 33
0의 위치둘째~넷째 자리3
남은 두 자리1, 2, 33×3

마지막 검증: 배열과 수를 구분하기

네 자리 배열을 세는 문제라면 0123도 배열 하나로 인정될 수 있지만, 네 자리 수를 만드는 문제라면 첫자리에 0을 놓을 수 없습니다. 이 차이를 먼저 판단해야 합니다.

따라서 해강고등학교, 양운고등학교 등 고등학교 수준의 중복순열 문제에서도 다음 순서를 적용하면 됩니다.

  • 문제가 ‘배열’인지 ‘수’인지 확인한다.
  • 첫자리에 0이 가능한지 판단한다.
  • 0의 사용 횟수 제한을 별도로 반영한다.
  • 계산한 결과가 조건을 만족하는지 몇 가지를 직접 대입해 본다.

첫자리 조건을 빠뜨린 풀이를 발견했다면, 모든 자리에 같은 선택 수를 곱하기 전에 첫자리를 분리해야 한다는 신호입니다.

부산중동 고2수학과외 학부모 후기

방학 첫 주 오후에 아이가 공부를 끝낸 뒤 문제집을 정리하는 모습을 보게 됐어요. 맨 뒤쪽에 자주 틀리는 계산 습관을 짧게 적어 둔 게 눈에 들어오더라고요. 그냥 오답 표시만 해놓은 줄 알았는데, 다음에 다시 볼 부분을 따로 남겨둔 모양이었어요. 예예전에는 틀린 문제를 확인하고도 어디를 다시 봐야 할지 정해두지 않았거든요. 이번에는 반복되는 계산 실수를 한 문장으로 줄여 문제집 뒤에 적어두고, 오답을 넘기지 않으려는 흔적이 보이더라고요. 부산중동 수학과외 관련해서 교재를 챙기다 보니 이런 변화가 더 잘 보였습니다. 다음 수업 전 교재를 꺼냈을 때도 새로 반복된 계산 실수를 짧게 기록해 두었어요. 처음 적어둔 문장은 지우지 않고 그대로 둔 채 그 아래에 내용을 덧붙여 놓았더라고요. 두 기록이 나란히 남아 있어서 무엇을 다시 확인하려 했는지 한눈에 보였어요.

★★★★★학부모 후기

주말에 시험 범위를 다시 펼쳐 보던 아이가 계산해 둔 교점을 그래프 위에 또 표시하더라고요. 필요한 부분만 확인하고 자료를 정리하는 모습이었어요. 예예전에는 다 풀었다 싶으면 확인하지 않은 부분까지 그대로 덮어 두는 편이었거든요. 학교에서 단원평가를 본 날에도 비슷한 장면을 봤습니다. 공부가 끝난 줄 알고 지나가려다가 그래프 문제의 교점 위치만 따로 표시해 둔 거예요. 부산중동 수학과외를 알아보던 중이라 이런 변화가 더 눈에 들어왔는데, 계산한 결과가 그래프에서 실제 위치와 맞는지 다시 살펴보고 있었습니다. 전에는 답이나 계산 결과만 보고 넘어갔는데, 이제는 식에서 나온 교점을 그래프에 옮겨 표시한 뒤 위치까지 확인하네요. 마지막에는 필요한 한 군데만 체크해 둔 채 자료를 덮었습니다.

★★★★★학부모 후기

부산중동에서 수학 과외를 알아보며 아이가 어려운 단원을 앞두고 선생님과 편하게 대화할 수 있는 분위기를 중요하게 봤습니다. 어느 날 문제 수를 줄여 수업하니 틀린 문제를 표시만 하던 습관과 숙제를 미루는 모습이 그대로 보였고, 선생님은 문제를 더 내기보다 천천히 읽지 않은 이유와 실수 과정을 함께 정리해 주셨습니다. 이후 복습을 하루 미루더라도 다음 날 다시 이어가는 일이 늘어 작은 변화지만 무척 반갑게 느껴졌습니다.

★★★★★학부모 후기

부산중동에서 수학과외를 시작한 뒤 아이가 수업에서 틀린 문제를 공책에 다시 적고, 왜 틀렸는지 자기 말로 설명하려는 모습도 조금씩 생겼습니다. 학교 과제와 시험 일정을 살펴 그 주의 수업량을 조절해 주셔서 부담도 덜했고, 어려운 문제가 나와도 예전처럼 피하지 않고 먼저 질문하려는 변화가 보여 좋게 느껴집니다.

★★★★☆학부모 후기

오답을 따로 모아 다시 풀어보던 날, 예전처럼 한 문제에서 막혔다고 수학을 포기하고 싶지는 않았습니다. 수행평가와 시험공부가 겹친 주에도 부산중동 선생님은 제 상황을 먼저 듣고, 수업 끝에 복습할 내용만 몇 가지로 줄여 주셨습니다. 혼자 공부할 때도 어디부터 다시 볼지 알게 되어 마음이 한결 편해졌습니다.

★★★★★학부모 후기