부산중동 고2수학과외







0이 들어간 배열에서 가장 먼저 확인할 조건
중복순열 문제를 풀 때 모든 자리에 같은 선택 수를 곱하면 편리하지만, 첫자리에 0이 올 수 있는지는 따로 확인해야 합니다. 예를 들어 부산중동과외 수업에서 다음 풀이 기록을 살펴보았습니다.
숫자 0, 1, 2, 3을 중복 사용하여 네 자리 수를 만들 때: 첫 자리 4가지, 나머지 세 자리도 각각 4가지이므로 4×4×4×4=256
풀이가 어긋난 지점
첫자리가 0이면 0123과 같은 배열은 네 자리 수가 아니라 세 자리 수로 해석됩니다. 따라서 첫자리는 0을 제외한 1, 2, 3 중에서 골라야 합니다.
첫자리 선택은 3가지, 나머지 세 자리는 각각 4가지이므로 정답은
3×43=192
0의 사용 횟수까지 제한하는 경우
조건이 추가되면 전체 배열을 한 번에 세기보다 첫자리와 나머지 자리를 분리하는 편이 안전합니다.
예시: 0을 정확히 한 번 사용하는 네 자리 수
숫자 0, 1, 2, 3을 중복 사용할 수 있고, 0을 정확히 한 번 포함하는 네 자리 수를 구해 보겠습니다.
- 첫자리는 1, 2, 3 중 하나이므로 3가지입니다.
- 나머지 세 자리 중 0이 들어갈 자리를 고르는 방법은 3가지입니다.
- 남은 두 자리는 1, 2, 3 중에서 각각 3가지씩 고릅니다.
따라서 경우의 수는
3×3×32=81
조건을 표로 점검하기
| 자리 | 가능한 선택 | 경우의 수 |
|---|---|---|
| 첫째 자리 | 1, 2, 3 | 3 |
| 0의 위치 | 둘째~넷째 자리 | 3 |
| 남은 두 자리 | 1, 2, 3 | 3×3 |
마지막 검증: 배열과 수를 구분하기
네 자리 배열을 세는 문제라면 0123도 배열 하나로 인정될 수 있지만, 네 자리 수를 만드는 문제라면 첫자리에 0을 놓을 수 없습니다. 이 차이를 먼저 판단해야 합니다.
따라서 해강고등학교, 양운고등학교 등 고등학교 수준의 중복순열 문제에서도 다음 순서를 적용하면 됩니다.
- 문제가 ‘배열’인지 ‘수’인지 확인한다.
- 첫자리에 0이 가능한지 판단한다.
- 0의 사용 횟수 제한을 별도로 반영한다.
- 계산한 결과가 조건을 만족하는지 몇 가지를 직접 대입해 본다.
첫자리 조건을 빠뜨린 풀이를 발견했다면, 모든 자리에 같은 선택 수를 곱하기 전에 첫자리를 분리해야 한다는 신호입니다.