부산중동 고3수학과외

접근값을 읽은 순간, 함수값과 경계가 뒤섞였다

부산중동 생활권의 도서관에서 기출문제를 다시 펼친 학생은 그래프의 일부가 가려진 극한 문항을 만났다. 문제는 lim_x→2f(x)와 f(2)를 각각 묻고 있었지만, 그래프에는 x=2 부근의 점과 좌우 곡선 일부만 제시되어 있었다. 학생은 가장 먼저 x=2에 가까워질 때의 높이를 읽어 극한값을 적었다. 이어 같은 높이를 함수값이라고 판단해 두 답을 같게 만들었다.

계산식 자체에는 큰 문제가 없었다. 정답과 풀이를 거꾸로 대조하던 중, 학생은 자신의 첫 줄에만 표시를 했다. “그래프에서 다가가는 높이를 읽은 뒤, 그 점의 실제 함수값을 따로 확인하지 않음”이라는 판단이 전체 오류의 출발점이었다. 극한은 주변에서 접근할 때의 값이고, 함수값은 정확히 x=2에서 정의된 점의 y좌표라는 구분이 빠진 것이다.

답이 아니라 첫 판단을 되짚다

학생은 해설을 보지 않고 그래프의 조건만 다시 옮겼다. x가 2의 왼쪽에서 다가갈 때와 오른쪽에서 다가갈 때 모두 y가 3으로 가까워지므로 극한은 3이라고 적었다. 그런 다음 x=2에 찍힌 실제 점이 (2, 5)라면 f(2)=5라고 별도 표시했다. 이때 빈 동그라미가 나타내는 접근값과 채워진 점이 나타내는 함수값을 한 줄에 섞지 않고 두 칸으로 나누었다.

교정은 한 가지 행동으로 제한했다. 식을 시작하기 전에 “x→2에서 보는 값”과 “x=2에서 정해진 값”을 문제 옆에 각각 써 둔 것이다. 이후 계산이 맞더라도 이 두 칸이 비어 있으면 결론을 확정하지 않도록 했다. 부산중동과외 수업에서 이 기록을 확인할 때도 풀이 전체를 다시 설명하기보다, 최초 식을 세운 근거가 두 값의 구분을 반영했는지만 살폈다.

미정형을 경계와 섞지 않는 연습

다음에는 그래프 대신 식으로 제시된 변형을 적용했다.

g(x)= (x²-4)/(x-2) (x≠2), g(2)=7

학생은 먼저 x²-4=(x-2)(x+2)로 정리하여 x≠2에서 g(x)=x+2임을 확인했다. 따라서 x가 2로 접근할 때의 극한은 4이고, 따로 주어진 g(2)는 7이라고 답했다. 여기서 약분한 식을 원래 함수 전체와 동일하다고 쓰지 않고, “x≠2에서만 성립”이라고 경계 조건을 남겼다. 미정형을 해소하는 계산과 x=2에서의 함수값 판단을 서로 다른 단계로 기록한 것이다.

문항의 조건 순서를 바꾼 독립 문제에서는 먼저 g(2)=7이 제시되고, 좌우에서의 식이 각각 달라졌다. 학생은 접근값을 곧바로 하나로 정하지 않고 왼쪽과 오른쪽을 따로 계산했다. 예를 들어 x<2에서는 g(x)=x+2, x>2에서는 g(x)=5라면 좌극한은 4, 우극한은 5이므로 양쪽 극한은 존재하지 않는다고 판단했다. x=2에서 g(2)가 어떤 값으로 정해졌는지는 이 결론을 바꾸지 않는다고 덧붙였다.

다음 날, 표시 없는 첫 줄에서 확인한 것

다음 날에는 전날의 체크 표시와 해설을 가린 채, 매개변수가 들어간 문제를 제시했다. 그래프에서 x=1의 빈 점 높이가 2이고, 채워진 점의 높이가 a로 주어졌을 때 학생은 먼저 좌우 접근값이 모두 2인지 확인했다. 그 뒤 극한은 2, 함수값은 a라고 분리했으며, 문제에서 두 값이 같다고 했을 때만 a=2를 얻는다고 설명했다.

마지막으로 원래 조건에 값을 다시 대입하게 하자 학생은 a=2를 넣은 뒤 채워진 점과 접근 높이가 일치하는지 좌우 그래프와 대조했다. 반대로 극한이 존재하지 않는 변형에서는 함수값을 아무리 정해도 좌극한과 우극한의 차이가 사라지지 않는다고 스스로 반박했다. 정답을 맞힌 사실보다, 첫 식 앞에서 접근값·경계의 함수값·좌우 일치 여부를 차례로 확인한 판단이 그대로 유지된 점이 이번 오류 추적의 최종 검증이었다.

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