반송동 고등수학과외

반송동 고등수학과외에서는 확률식을 빠르게 세우기보다, 문항의 조건이 붙을 때 표본공간이 어떻게 달라지는지 먼저 확인한다. 해운대고등학교와 부흥고등학교 학생도 배열이 바뀐 문제를 만나면 익숙한 공식에 숫자를 넣기 전에 가능한 경우의 표를 다시 그리는 연습을 한다. 부산광역시립반송도서관에서 정리한 오답을 보면 계산 실수보다 표본공간을 그대로 둔 채 조건부 확률을 계산한 경우가 더 자주 눈에 띈다.

사분면까지 맞았는데 확률이 어긋난 순간

한 학생은 좌표평면에 네 사분면을 표시하고, 각 조건에 해당하는 점을 분류하는 데까지 정확했다. 문제에는 다섯 가지 조건이 차례로 제시되어 있었고, 마지막 조건에 따라 일부 결과를 제외해야 했다. 학생은 원래 표에 표시된 전체 경우의 수를 분모로 둔 뒤, 조건을 만족하는 경우만 세어 확률을 구했다.

첫 오류는 바로 그 분모를 바꾸지 않은 순간에 생겼다. 조건을 만족하지 않는 결과를 이미 제외했는데도 전체 표본공간의 크기를 그대로 사용한 것이다. 예를 들어 처음 가능한 결과가 12개이고 다섯 번째 조건을 적용한 뒤 5개만 남았다면, 그다음 사건의 확률은 남은 5개를 기준으로 판단해야 한다. 학생의 식은 분자는 남은 표에서 세면서 분모는 12를 유지하고 있었다.

조건을 적용한 뒤에도 처음의 표를 계속 기준으로 삼고 있지는 않은가?

표를 지우지 않고 표본공간을 다시 만드는 훈련

교정할 때 처음 표를 통째로 지우게 하지 않았다. 원래 표 옆에 ‘조건 1 통과’, ‘조건 2까지 통과’처럼 열을 추가하고, 각 결과가 어느 단계에서 탈락하는지 표시했다. 다섯 조건을 모두 거친 행만 남기자 새로운 표본공간의 원소가 눈에 보였다. 그 뒤 학생은 남은 결과를 하나의 새 표본공간으로 이름 붙이고, 그 안에서 사건의 개수와 전체 개수를 다시 세었다.

특히 같은 결과가 조건을 두 번 통과했다고 중복해서 세지 않도록 결과마다 번호를 붙였다. 순서를 고려하는 배열 문제라면 ‘첫 번째 자리와 두 번째 자리’가 바뀐 경우를 별개의 원소로 적고, 순서를 고려하지 않는 선택 문제라면 같은 묶음으로 정리했다. 표를 다시 구성하는 방식이 달라져도 마지막에 남는 원소가 같은지 확인하면서, 표본공간은 계산 편의를 위한 기호가 아니라 문제의 가능한 결과 전체라는 점을 연결했다.

배열을 바꾼 새 문제에서 혼자 판단하기

다음 시간에는 조건의 순서를 바꾸고 숫자도 달리한 문제를 제시했다. 처음에는 1부터 6까지의 눈이 나오는 두 번의 시행을 표로 만들고, 이후 ‘합이 짝수’, ‘첫 번째 수가 더 큼’, ‘같은 수 제외’와 같은 조건을 차례로 적용하게 했다. 학생은 이번에는 조건별 통과 행만 별도 표에 옮겼다.

문항 배열을 바꾸어 ‘같은 수 제외’ 조건을 먼저 제시했을 때도, 처음부터 36개를 고정된 본공간으로 사용하지 않았다. 대각선에 해당하는 6개를 제거해 30개가 남는다는 것을 먼저 적고, 그 30개 안에서 다음 조건을 판단했다. 도움 없이 표본공간을 새로 정의한 뒤 확률을 계산하는 과정이 이전보다 짧아졌다.

작은 사례로 계산을 되돌려 확인하기

마지막에는 큰 표의 결과를 그대로 믿지 않고, 두 번의 동전 던지기처럼 작은 사례를 직접 나열했다. 가능한 결과를 앞면앞면, 앞면뒷면, 뒷면앞면, 뒷면뒷면으로 적은 다음 조건을 적용해 남는 결과를 확인했다. 조건을 적용한 뒤의 본공간을 기준으로 계산한 값과 표에 적힌 결과가 일치하는지 대조했다.

학생이 분모를 처음부터 4로 두고 계산한 경우에는 조건 적용 후 남은 결과 수와 식의 분모가 맞지 않는다는 점이 바로 드러났다. 이 검산은 공식을 다시 외우는 방식이 아니라, 실제 원소를 나열해 확률의 뜻을 되돌아보는 절차였다. 배열 문제에서도 같은 방법으로 남은 순서쌍을 직접 적으면 중복이나 누락을 확인할 수 있다.

자주 묻는 내용

조건이 하나 추가될 때마다 표본공간을 새로 만들어야 하나요?

그 조건 이후의 확률을 묻는다면, 조건을 만족한 결과만으로 본공간을 다시 정해야 한다.

분모가 변하지 않는 경우도 있나요?

조건이 단순한 설명일 뿐 결과를 제외하지 않거나, 처음 전체 경우를 기준으로 묻는 문제라면 변하지 않을 수 있다. 문제의 기준 시점을 확인해야 한다.

표를 꼭 직접 그려야 하나요?

경우의 수가 적다면 원소를 나열하는 편이 오류를 찾기 쉽다. 경우가 많아지면 집합이나 나무그림으로 바꾸되, 무엇이 남았는지는 확인해야 한다.

배열 순서가 바뀌면 풀이도 완전히 달라지나요?

조건의 적용 순서가 달라져도 최종 조건이 같으면 결과가 같을 수 있지만, 중간 계산의 본공간은 달라질 수 있다. 각 단계의 기준을 따로 기록하면 혼동을 줄일 수 있다.

계산기를 사용해도 되나요?

계산기는 마지막 산술 확인에 활용하고, 표본공간을 정하는 과정은 직접 표시하는 것이 좋다.