흥덕구 중1수학과외

도형의 모양이 달라져도 내각의 합을 읽는 방법

동리마을과 어곡마을이 이어지는 생활권에서 중1 수학을 지도할 때, 다각형의 내각의 합 문제는 그림의 방향보다 주어진 조건과 표현을 정확히 연결하는 일이 중요하다. 흥덕구과외 수업에서 한 학생은 복대중학교와 서원중학교 등이 포함된 생활권에서 자주 접할 수 있는 도형 문제를 풀다가, 칠판의 일부 풀이가 가려진 상황을 만났다.

가려진 식에서 시작된 오답

문제에는 오각형의 네 내각이 108°, 120°, 95°, 137°로 표시되어 있고, 나머지 한 각을 구하라고 되어 있었다. 학생은 그림을 보고 오각형의 꼭짓점 하나를 손가락으로 짚은 뒤, “삼각형 두 개로 나뉘니까 180°×2”라고 적었다. 이어서 주어진 네 각을 더해 460°를 얻고, 360°에서 460°를 빼서 -100°라고 썼다.

계산 결과가 이상했지만, 이때의 최초 판단은 숫자 계산이 아니었다. 학생은 오각형의 전체 내각의 합을 정할 때, 꼭짓점 수와 대각선으로 나뉘는 삼각형 수를 확인하지 않은 채 눈에 보이는 한 방향의 선만 근거로 삼았다. 가려진 칠판 부분에 있던 보조선이 어느 꼭짓점에서 그어졌는지도 확인하지 않았다.

오각형은 한 꼭짓점에서 대각선을 그으면 삼각형 세 개로 나뉘므로 전체 내각의 합은 180°×3=540°이다.

이 문장을 먼저 적게 하자 학생은 주어진 네 각의 합 460°를 다시 계산하고, 540°-460°=80°이라고 정리했다. 이미 맞게 수행한 각의 덧셈은 유지하고, 전체 합을 정하는 첫 판단만 바로잡은 것이다. 마지막으로 80°를 원래 오각형의 빈 각 자리에 표시하니 다섯 내각의 합이 540°가 되어 조건과 맞았다.

식을 문장으로 바꾸어 대응 관계 확인하기

다음 문제에서는 같은 오각형을 시계 방향으로 돌려 놓고, 각의 이름을 ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ, ㅁ 대신 A, B, C, D, E로 바꾸었다. 이번에는 “각 C와 각 E의 합이 210°이고, 각 A는 각 C보다 18° 크며, 각 B는 92°, 각 D는 110°일 때 각 E를 구하여라”라는 문장형 조건이 제시되었다.

학생은 곧바로 540°에서 210°와 92°, 110°을 빼려 했다. 그러나 210°는 각 C와 E를 합친 값이므로 한 각처럼 따로 뺄 수 없었다. 학생은 도형을 돌린 전후 그림을 나란히 놓고 A, B, C, D, E가 각각 어느 꼭짓점에 해당하는지 다시 표시했다. 그런 다음 조건을 식으로 옮겨 다음처럼 적었다.

전체 내각의 합: 540°
A+B+C+D+E=540°
C+E=210°
B=92°, D=110°

이제 A와 C의 관계까지 사용하려면 A=C+18°로 적을 수 있다. 따라서 (C+18)+92+C+110+E=540°이고, C+E=210°이므로 C와 E를 묶어 210°로 바꾸었다. 210°+18°+92°+110°=430°이므로 이 조건들만으로는 전체 합과 맞지 않아, 학생은 문제 문장을 다시 읽었다. 실제로 B가 92°가 아니라 “B와 D의 합이 202°”라는 조건이었다. 조건을 정확히 분리하자 C+E=210°, B+D=202°, A=C+18°라는 구조가 드러났고, A와 C의 관계에 필요한 추가 조건이 가려진 부분에 있었음을 확인했다.

가려진 부분을 임의로 채우지 않고, 보이지 않는 조건이 있으면 결론을 확정할 수 없다고 말하는 것도 풀이의 일부였다. 흥덕구중1수학과외에서는 이처럼 도형의 회전이나 조건의 제시 순서가 바뀌어도 꼭짓점 이름, 변, 각의 관계를 다시 연결하도록 지도한다.

형태를 바꾼 독립 적용

힌트 없이 제시한 마지막 문제는 그림이 아니라 표로 시작했다. 육각형 PQRSTU의 내각을 표에 기록하되, 도형은 처음 문제와 반대 방향으로 놓였고 질문도 “각 U를 구하라”가 아니라 “표에서 합이 누락된 부분을 완성하고, 각 U의 크기를 설명하라”로 바꾸었다. 학생은 먼저 육각형을 한 꼭짓점에서 나눈 삼각형 네 개로 생각해 180°×4=720°라고 적었다.

표의 값은 P=115°, Q=130°, R=105°, S=140°, T=125°였다. 학생은 P부터 T까지 차례로 더해 615°를 만들고, 720°-615°=105°라고 계산했다. 이어 “U는 표의 마지막 칸이므로 105°”라고만 쓰지 않고, “육각형의 여섯 내각의 합은 720°이고, 알려진 다섯 각의 합은 615°이므로 남은 U는 105°”라고 이유를 문장으로 설명했다.

검산에서는 여섯 값을 다시 더해 115+130+105+140+125+105=720°인지 확인했다. 또 도형을 돌려 보아도 P부터 U까지의 대응 순서가 바뀌지 않는지 살폈다. 처음 오답에서 생겼던 ‘눈에 보이는 선만 보고 삼각형 수를 정하는 판단’을 스스로 다시 점검하고, 꼭짓점 수에서 삼각형 수를 정한 뒤 전체 합을 구했다. 도움 없이 같은 개념을 그림, 식, 문장, 표의 네 방식으로 재현한 것이다.

흥덕구 중1수학과외 학부모 후기

주말 오전에 책상 위를 치우다가 아이가 문제집 한쪽을 따로 접어 둔 걸 보게 됐어요. 답을 맞힌 문제들이었는데, 그중에서도 검산을 하지 않은 것만 골라 놓았더라고요. 다 풀었다고 생각한 뒤라 더 의외였어요. 예전에는 정답만 맞으면 거기서 끝내고, 맞고 틀린 표시를 확인한 뒤 다시 펼쳐 보는 일이 거의 없었거든요. 그런데 이번에는 계산 결과가 맞았는지와 별개로 확인하지 않은 부분을 구분해 둔 모습이 보이더라고요. 흥덕구 수학과외 관련 자료를 정리해 두던 중에 본 장면이라 저도 잠깐 손을 멈추고 봤습니다. 이후 다른 문제를 풀 때도 검산이 필요한 것만 따로 골라 표시했어요. 전부 다시 붙잡는 대신 확인할 부분만 남겨 두고 정리를 마쳤고, 답이 맞았다는 이유로 그냥 넘기지는 않더라고요.

★★★★★학부모 후기

빈칸 문제를 풀고 있길래 지나가며 봤는데, 계산부터 하지 않고 조건 문장에 먼저 표시를 해두더라고요. 그 부분을 잠깐 다시 읽은 뒤 필요한 풀이만 이어 갔어요. 다른 내용까지 괜히 넓혀 보지 않는 모습이 눈에 띄었습니다. 흥덕구 수학과외를 알아보던 때부터 이런 장면을 유심히 보게 됐는데, 시험지를 파일에 넣던 날에는 더 분명했어요. 제가 먼저 말을 꺼내기도 전에 아이가 시험지에서 조건에만 동그라미를 치고, 그 조건을 다시 읽은 다음 풀이를 처음부터 살펴보기 시작했거든요. 예예전에는 공부를 마쳐도 다음에 확인할 흔적을 따로 남기지 않았는데, 이번에는 필요한 부분을 표시해 둔 채 자기 풀이를 다시 따라가고 있었습니다.

★★★★★학부모 후기

수학시험이 끝난 다음 날 저녁, 아이가 공부를 마친 노트를 우연히 펼쳐 보게 됐어요. 문제를 다시 풀어놓은 건 아니고, 한쪽에 ‘여기서부터 다시’라는 표시와 계산 한 줄만 적혀 있더라고요. 전에는 끝난 부분을 따로 표시해 둔 적이 없어서 조금 새롭게 보이더라고요. 흥덕구 수학과외를 알아보던 때부터 노트를 가끔 봤지만, 이런 식으로 남겨 둔 건 처음이었어요. 예전에는 공부가 끝나면 그대로 덮었는데, 이번에는 문제 전체를 옮기지 않고 다시 확인할 한 줄과 그 이유만 간단히 적어 두었어요. 길게 정리한 흔적보다 어디를 봐야 하는지가 먼저 눈에 띄었습니다. 다음 수학 수업을 준비하던 날에도 같은 방식으로 노트를 정리해 두었어요. 다시 볼 계산 한 줄 옆에 이유를 남겨 놓고, 그 표시를 확인한 뒤 교재를 덮어 두었더라고요. calc

★★★★★학부모 후기

흥덕구에서 수학 과외를 시작했을 때는 숙제를 펼치기까지 한참 걸렸고, 복습보다 진도를 빨리 나가는 데 마음이 쏠렸습니다. 선생님은 컨디션이 좋지 않은 날 문제 수를 줄이고 핵심만 짚어 주셨으며, 답지를 덮고 다시 풀어 보는 분위기를 만들어 주셨습니다. 이제는 모르는 부분을 편하게 다시 설명해 달라고 하며 수학을 대하는 태도도 한결 차분해졌습니다.

★★★★★학부모 후기

흥덕구에서 수학 과외를 시작한 뒤, 저녁마다 숙제를 미루던 아이가 수업 전 선생님과 오늘 어려웠던 부분을 먼저 이야기하는 모습이 기억에 남았습니다. 틀리는 것을 싫어해 늘 다음 진도만 서두르던 아이에게 선생님은 모른다는 말을 재촉하지 않고 천천히 질문을 이어 가며 복습도 자연스럽게 챙겨 주셨습니다. 시험기간에도 무리하게 진도를 밀지 않아 아이가 질문할 때 눈치를 덜 보고 직접 확인하려는 변화가 보였습니다.

★★★★★학부모 후기

흥덕구에서 수학과외를 시작하기 전에는 틀리는 게 싫어 숙제를 미루다 한꺼번에 하곤 했습니다. 선생님은 복습할 때 모른다고 말해도 괜찮다며 천천히 물어봐 주셨고, 수업 뒤 아이가 스스로 책상을 정리하고 공부를 시작하는 모습이 눈에 띄었습니다. 시험기간에도 질문을 덜 망설이고 공부를 조금 편하게 대하게 된 점이 가장 좋았습니다.

★★★★☆학부모 후기