청원구 중3수학과외
청원구 산점도 풀이에서 먼저 봐야 할 것
내덕시영아파트와 내덕칠거리 생활권에는 각리중학교가 포함된 생활권이 있어, 이 주변 중3 수학 학습에서 산점도를 읽는 문제를 자주 다루게 됩니다. 이번 청원구과외 수업에서는 산점도의 점들이 얼마나 모여 있는지 비교하는 한 가지 기준만 붙잡고, 완성된 풀이에서 오류를 거꾸로 찾아갔습니다.
완성된 답에서 거슬린 한 문장
도서관 자습 시간에 학생이 풀어 둔 문제는 다음과 같았습니다.
산점도 A와 B 중 두 자료 사이의 관계가 더 뚜렷한 것을 고르시오.
A: 점 12개가 왼쪽 아래에서 오른쪽 위로 대체로 모여 있으나, 몇 점은 선에서 떨어져 있다.
B: 점 12개가 가운데에 넓게 퍼져 있고, 오른쪽 위로 향하는 점도 일부 보인다.
학생의 답안에는 “B는 오른쪽 위에 가까운 점이 4개 있으므로 B가 더 뚜렷하다.”라고 적혀 있었습니다. 답을 맞히기 위해 마지막 계산부터 확인한 것이 아니라, 이 문장이 처음 만들어진 판단인지 살펴보았습니다.
학생이 실제로 표시한 흔적
학생은 두 산점도에서 오른쪽 위에 있는 점들을 동그라미로 표시했습니다. A에서는 (6, 7), (7, 8), (8, 9)처럼 비슷한 방향의 점 세 개를, B에서는 (4, 6), (5, 7), (6, 8), (7, 9) 네 개를 골랐습니다. 이어서 표시한 점의 개수만 비교하고 “4개가 3개보다 많다.”고 적었습니다.
그 뒤에는 전체 점을 다시 읽지 않은 채, B의 점들이 더 강하게 모였다고 결론 내렸습니다. 그러나 이 계산이나 표시 이후의 문장이 최초 오류는 아니었습니다. 가장 먼저 어긋난 판단은 전체 점의 분포를 보지 않고 가까운 몇 점만으로 퍼짐 정도를 결정한 것이었습니다. 산점도의 퍼짐 정도를 비교할 때는 선택한 일부 점의 개수가 아니라, 점 전체가 비슷한 방향으로 얼마나 모여 있는지를 확인해야 합니다.
한 번만 바꾼 비교 기준
풀이를 모두 지우게 하지는 않았습니다. 학생이 동그라미를 친 표시와 개수 세기는 그대로 두고, 결론을 내리기 직전에 비교 대상을 바꾸었습니다.
- 처음 기준: 가까운 곳에 있는 몇 개의 점
- 바꾼 기준: 산점도에 찍힌 전체 점의 모임
학생은 A의 12개 점을 다시 훑으며, 대부분이 왼쪽 아래에서 오른쪽 위로 이어지는 좁은 띠 안에 놓였는지 확인했습니다. 반면 B는 같은 방향으로 보이는 점이 있어도 나머지 점들이 넓게 흩어져 있었습니다. 따라서 A가 전체적으로 더 모여 있고, A의 관계가 더 뚜렷하다고 고쳐 썼습니다.
여기서 새로운 계산 방법을 넣거나 다른 산점도 개념을 추가하지 않았습니다. 단지 처음 잘못 선택했던 ‘일부 점’을 ‘전체 점’으로 바꾸어 같은 퍼짐 비교를 다시 한 것입니다.
모양을 바꾼 산점도 한 장
다음 문제에서는 글로 설명된 자료가 아니라 두 산점도의 그림을 제시했습니다. 산점도 C는 점 10개가 왼쪽 위에서 오른쪽 아래로 향하는 띠 안에 모여 있고, 산점도 D는 점 10개 중 네 개가 그 방향에 놓였지만 나머지는 위아래로 넓게 흩어진 모양이었습니다. 질문도 “어느 산점도의 점들이 한 방향으로 더 모여 있는가?”로 바꾸었습니다.
학생은 이번에는 먼저 점의 개수를 세지 않고, 연필로 각 산점도의 바깥쪽 점들을 가볍게 표시했습니다. C는 바깥쪽 점을 제외한 대부분이 좁은 범위에 있었고, D는 가운데 점 몇 개만 가까웠다는 사실을 말로 설명했습니다. 숫자와 질문의 표현이 달라졌지만, 판단 기준은 전체 점의 퍼짐 정도로 유지되었습니다.
힌트 없이 다시 확인한 기록
며칠 뒤 청원구중3수학과외 시간에는 풀이 중간을 가린 새 문제를 제시했습니다. 산점도 E는 점 14개가 오른쪽 아래 방향의 넓지 않은 띠에 모여 있었고, 산점도 F는 점 5개가 그 띠에 들어갔지만 나머지 9개가 여러 위치로 퍼져 있었습니다. 어느 쪽이 점의 퍼짐이 작은지 이유와 함께 쓰는 문제였습니다.
학생은 도움 없이 먼저 E와 F의 전체 점을 차례로 살폈습니다. “E는 몇 개의 점만 고른 것이 아니라 14개 대부분이 같은 방향의 좁은 모임을 이룬다. F는 가까운 다섯 점이 있어도 나머지 점들이 넓게 떨어져 있으므로 전체 퍼짐이 더 크다.”고 적었습니다.
마지막으로 학생은 각 산점도에서 눈에 띄는 한두 점을 손가락으로 가려 보았습니다. 일부 점을 제외해도 E의 전체 모임이 더 좁고, F는 여전히 넓게 흩어진 모습이라는 것을 확인했습니다. 이번에는 특정 점 몇 개가 아니라 전체 분포를 기준으로 선택했으며, 그 판단과 검산 근거까지 스스로 설명했습니다.