청원구 고2수학과외







로그부등식의 교집합은 밑에서 갈린다
청원구과외에서 자주 확인하는 오답은 계산 과정이 아니라 밑의 범위를 나누지 않은 데서 시작된다. 다음 문제를 보자.
문제 실수 \(a\)에 대하여
\[ \log_a(x-1)\ge \log_a(3-x) \]
의 해집합을 \(a\)의 값에 따라 구하여라.
학생 풀이 기록에서 드러난 오류
학생은 먼저 진수 조건을 표에 옮겼다.
| 로그식 | 조건 |
|---|---|
| \(\log_a(x-1)\) | \(x-1>0\), 즉 \(x>1\) |
| \(\log_a(3-x)\) | \(3-x>0\), 즉 \(x<3\) |
따라서 정의역은 \(1<x<3\)이다. 그러나 학생은 양변의 로그를 비교하면서 밑의 범위와 관계없이
\[ x-1\ge 3-x \]
라고 처리했다. 이때 \(a\)가 \(0<a<1\)인 경우에는 로그함수가 감소하므로 부등호 방향이 바뀐다.
밑에 따른 해집합 분류
로그의 밑 조건은 \(a>0,\ a\ne1\)이다. 이를 기준으로 나누면 다음과 같다.
- \(a>1\): 로그함수가 증가하므로 \[ x-1\ge3-x\iff x\ge2. \] 정의역과 교집합을 취하면 해집합은 \([2,3)\)이다.
- \(0<a<1\): 로그함수가 감소하므로 \[ x-1\le3-x\iff x\le2. \] 정의역과 교집합을 취하면 해집합은 \((1,2]\)이다.
- \(a=1\): 로그의 밑이 될 수 없으므로 식 자체가 정의되지 않는다.
교집합은 계산 직전에 다시 확인한다
부등식에서 얻은 \(x\ge2\) 또는 \(x\le2\)만 그대로 답으로 쓰면 안 된다. 두 로그의 진수 조건 \(1<x<3\)과 반드시 교집합을 구해야 한다.
경계값 \(x=2\) 검증
\(x=2\)이면 두 진수가 모두 \(1\)이므로
\[ \log_a1=\log_a1=0 \]
이다. 따라서 \(x=2\)는 두 경우 모두 포함된다. 반면 \(x=1,3\)에서는 진수가 \(0\)이 되어 제외된다.
최종 답은
\[ \boxed{ \begin{cases} [2,3), & a>1,\\ (1,2], & 0<a<1,\\ \text{정의되지 않음}, & a=1. \end{cases}} \]
오답을 막는 확인 순서
- 밑의 조건 \(a>0,\ a\ne1\)을 확인한다.
- 모든 진수의 조건을 구해 정의역을 만든다.
- \(a>1\)과 \(0<a<1\)에서 부등호 방향을 따로 정한다.
- 계산한 결과와 정의역의 교집합을 구한다.