LearnMap

청원구 고2수학과외

과외 학습 안내 이미지 1과외 학습 안내 이미지 2과외 학습 안내 이미지 3과외 학습 안내 이미지 4과외 학습 안내 이미지 5과외 학습 안내 이미지 6과외 학습 안내 이미지 7

로그부등식의 교집합은 밑에서 갈린다

청원구과외에서 자주 확인하는 오답은 계산 과정이 아니라 밑의 범위를 나누지 않은 데서 시작된다. 다음 문제를 보자.

문제 실수 \(a\)에 대하여

\[ \log_a(x-1)\ge \log_a(3-x) \]

의 해집합을 \(a\)의 값에 따라 구하여라.

학생 풀이 기록에서 드러난 오류

학생은 먼저 진수 조건을 표에 옮겼다.

로그식조건
\(\log_a(x-1)\)\(x-1>0\), 즉 \(x>1\)
\(\log_a(3-x)\)\(3-x>0\), 즉 \(x<3\)

따라서 정의역은 \(1<x<3\)이다. 그러나 학생은 양변의 로그를 비교하면서 밑의 범위와 관계없이

\[ x-1\ge 3-x \]

라고 처리했다. 이때 \(a\)가 \(0<a<1\)인 경우에는 로그함수가 감소하므로 부등호 방향이 바뀐다.

밑에 따른 해집합 분류

로그의 밑 조건은 \(a>0,\ a\ne1\)이다. 이를 기준으로 나누면 다음과 같다.

  • \(a>1\): 로그함수가 증가하므로 \[ x-1\ge3-x\iff x\ge2. \] 정의역과 교집합을 취하면 해집합은 \([2,3)\)이다.
  • \(0<a<1\): 로그함수가 감소하므로 \[ x-1\le3-x\iff x\le2. \] 정의역과 교집합을 취하면 해집합은 \((1,2]\)이다.
  • \(a=1\): 로그의 밑이 될 수 없으므로 식 자체가 정의되지 않는다.

교집합은 계산 직전에 다시 확인한다

부등식에서 얻은 \(x\ge2\) 또는 \(x\le2\)만 그대로 답으로 쓰면 안 된다. 두 로그의 진수 조건 \(1<x<3\)과 반드시 교집합을 구해야 한다.

경계값 \(x=2\) 검증

\(x=2\)이면 두 진수가 모두 \(1\)이므로

\[ \log_a1=\log_a1=0 \]

이다. 따라서 \(x=2\)는 두 경우 모두 포함된다. 반면 \(x=1,3\)에서는 진수가 \(0\)이 되어 제외된다.

최종 답은

\[ \boxed{ \begin{cases} [2,3), & a>1,\\ (1,2], & 0<a<1,\\ \text{정의되지 않음}, & a=1. \end{cases}} \]

오답을 막는 확인 순서

  1. 밑의 조건 \(a>0,\ a\ne1\)을 확인한다.
  2. 모든 진수의 조건을 구해 정의역을 만든다.
  3. \(a>1\)과 \(0<a<1\)에서 부등호 방향을 따로 정한다.
  4. 계산한 결과와 정의역의 교집합을 구한다.

청원구 고2수학과외 학부모 후기

학교 행사가 끝난 저녁에 자료를 챙기다가 아이 시험지를 펼쳐 보게 됐어요. 풀이가 잘 안 풀린 흔적부터 찾을 줄 알았는데, 문제 전체가 아니라 조건 문장에만 동그라미를 쳐 놓았더라고요. 그 부분을 한 번 더 읽고 나서야 풀이를 처음부터 다시 적기 시작했어요. 청원구 수학과외 이야기를 나누던 때에도 이런 장면이 꽤 눈에 띄었습니다. 예전에는 막힌 이유를 짧게라도 적어 두는 일이 거의 없어서, 어디에서 멈췄는지 본인도 지나치는 경우가 많았거든요. 이번에는 다른 설명을 덧붙이기보다 조건에 표시한 뒤 그 자리에서 다시 출발하는 모습이었습니다. 시험 계획을 세우던 저녁에도 계산부터 손대지 않고 조건 문장에 먼저 표시했어요. 필요한 부분을 확인하고 나서 다음 일정으로 넘어가는 순서가 시험지에서 보였던 모습과 같았습니다.

★★★★★학부모 후기

단원평가를 본 날이라 책과 프린트를 치우고 있었는데, 문제집 여백에 조그만 표시가 몇 군데 있더라고요. 계산을 틀린 답에 크게 동그라미 친 게 아니라, 실수가 시작된 자리만 살짝 짚어 놓은 모양이었어요. 예예전에는 다 풀었는지 다시 살피기보다 확인 못 한 부분까지 한꺼번에 덮어 두는 편이었거든요. 주말에 시험 범위를 다시 펼쳐 놓았을 때도 같은 식으로 계산이 어긋난 지점을 먼저 찾아 표시했어요. 그 뒤에는 필요한 부분 하나만 따로 체크하고 다른 자료는 정리했습니다. 청원구 수학과외를 알아보며 기대했던 건 이런 거창한 변화가 아니었는데, 답만 보는 대신 어디서부터 잘못됐는지 남겨 둔 점이 눈에 띄었어요. 이번에는 계산 실수가 난 줄 전체가 아니라 시작된 한 곳만 표시돼 있었습니다.

★★★★★학부모 후기

학교 과제와 과외 숙제가 겹친 날에도 아이가 먼저 문제를 풀어보려는 모습이 눈에 띄었습니다. 청원구 선생님은 막히는 부분을 그대로 지나치지 않고 차분히 다시 설명한 뒤, 그날 할 일과 다음 복습 내용을 나눠 주셨습니다. 시험기간에는 틀린 문제를 다시 펼쳐 보는 것도 예전보다 자연스러워졌습니다.

★★★★★학부모 후기

청원구에서 수학 과외를 시작할 때만 해도 아이는 숙제를 미루고 새 진도만 빨리 나가려 했습니다. 선생님은 컨디션에 따라 문제 수를 조절하고, 그날 할 일과 다음에 복습할 내용을 나눠 부담을 덜어 주셨습니다. 요즘은 답지를 덮고 다시 풀어 보며 막히면 설명을 편하게 부탁하는 모습이 보여 조금씩 자신감이 생긴 듯합니다.

★★★★★학부모 후기

주말 계획보다 늦게 일어난 날에도 아이가 틀린 문제를 다시 펼쳐 보는 모습이 기억에 남았습니다. 청원구 수업 시간을 조정한 날 선생님은 학습 부담과 수업 중 태도를 자세히 알려 주셨고, 무리하게 진도를 밀지 않으셨습니다. 요즘은 모르는 것을 숨기지 않고 수업 전에 질문할 문제를 표시해 두어 성적보다 먼저 공부하는 태도의 변화를 느낍니다.

★★★★☆학부모 후기