상당구 중등수학과외

상당구중등수학과외, 228과 342의 소인수분해에서 지수와 인수 구별 확인하기

합성수 228을 소인수분해하는 기본 과제에서는 228=2×114=2×2×57=2×2×3×19이므로 2²×3×19라고 쓸 수 있습니다. 이어서 342를 소인수분해하면 342=2×171=2×3×57=2×3×3×19, 즉 2×3²×19입니다. 두 수 모두 끝에는 소수만 남겨야 한다는 관계는 같지만, 같은 소수가 반복되는 횟수는 다릅니다. 상당구중등수학과외에서는 기본 풀이를 외웠는지보다, 새 수가 제시되었을 때 어떤 조건은 유지하고 어떤 계산을 새로 해야 하는지 살펴보는 데 초점을 둡니다.

228에서 ‘인수’와 ‘소인수’를 구분하는 이유

228을 2×114로 나타낼 때 2와 114는 모두 228의 인수입니다. 그러나 114는 2×57로 더 나눌 수 있는 합성수이므로 소인수분해의 마지막 답에 그대로 남길 수 없습니다. 57도 3×19로 나누어야 하며, 2·2·3·19는 모두 소수이므로 여기서 분해를 멈춥니다. 소인수분해 가지를 그릴 때에는 114, 57처럼 아직 합성수인 수에 표시하고 다시 가지를 뻗게 합니다. 반대로 2, 3, 19에는 동그라미를 하여 더 나누지 않는 수임을 구분합니다. 이렇게 표시하면 ‘인수로 나누었으니 끝났다’는 판단 대신 ‘남은 인수가 모두 소수인가’를 확인하는 기준이 생깁니다.

지수 표기는 계산을 줄여 쓰는 약속이기도 합니다. 2×2×3×19에서 2가 두 번 곱해졌으므로 2²×3×19가 됩니다. 여기서 2²는 2×2를 뜻하며 2×2×2를 뜻하지 않습니다. 실제 값으로 되돌려 보면 2²×3×19=4×3×19=12×19=228이므로 원래 수와 일치합니다. 이 곱의 복원은 지수를 잘못 붙였거나 소인수를 빠뜨리지 않았는지 확인하는 알맞은 방법입니다.

342에서는 같은 절차를 유지하되 첫 분해를 새로 선택합니다

비교 과제의 342도 짝수이므로 처음에 2×171로 나눌 수 있습니다. 하지만 228의 답에서 보았던 2²를 그대로 옮겨 적는 것은 근거가 없습니다. 171은 3×57이고, 57은 다시 3×19이므로 342=2×3×3×19=2×3²×19입니다. 두 문제에서 유지되는 것은 합성수인 인수를 계속 나누어 소수만 남긴다는 절차입니다. 달라지는 것은 228에는 2가 두 번 나타났지만 342에는 3이 두 번 나타난다는 점입니다. 따라서 지수도 2²가 아니라 3²에 붙습니다.

이 차이를 확인할 때는 답을 먼저 알려 주기보다, 342의 첫 분해를 스스로 고르게 한 뒤 풀이에 남은 수를 살펴보는 순서가 필요합니다. 막혔을 때만 “171은 아직 소수인가?”처럼 짧게 묻고, 소수 판별표에서 171과 57을 확인하게 합니다. 완성 뒤에는 2×3²×19=2×9×19=18×19=342로 곱을 복원합니다. 지수가 같은 소수를 몇 번 곱한 것인지 말로 설명하고, 실제 곱에서도 그 횟수가 맞는지 연결해야 표기와 계산이 분리되지 않습니다.

다음 확인에서는 답보다 표시와 첫 식을 함께 봅니다

다음 단계에서는 228과 342의 풀이를 나란히 놓고, 각 가지에서 다시 분해한 합성수와 마지막에 남긴 소수를 각각 표시해 봅니다. 228에서는 114와 57을 더 분해했고 2·2·3·19가 남았으며, 342에서는 171과 57을 더 분해해 2·3·3·19가 남는다는 것을 비교할 수 있습니다. 이때 “두 과제에서 달라진 조건은 무엇인가?”라는 질문에 수 자체가 바뀌었다는 말에서 멈추지 않고, 반복되는 소수가 2에서 3으로 바뀌었다는 근거까지 제시하는지 확인합니다.

비교 과제를 혼자 풀 때 첫 식을 342=2×171처럼 세우고, 모든 끝 인수가 소수인지 점검한 뒤 2×3²×19를 342로 되돌려 곱할 수 있는지가 다음 기준입니다. 만약 지수의 위치만 바꾸거나 171, 57을 답에 남긴다면 처음부터 모든 내용을 다시 시작하기보다, 어느 수가 합성수인지 표시하는 단계와 같은 소수의 반복을 묶는 단계를 나누어 확인합니다. 상당구중등수학과외의 학습 흐름도 이처럼 한 답의 정오만 보지 않고, 새 조건에서 선택한 첫 분해와 복원 계산이 서로 맞는지 확인하는 방식으로 이어집니다.