상당구 중1수학과외

다각형의 대각선 개수를 다시 세운 풀이

상당구의 용두암현대1차아파트가 있는 생활권과 금천중학교, 원봉중학교 등이 포함된 지역에서 중1수학과외를 진행하던 중, 단원평가를 앞둔 학생의 오답을 함께 살펴보았다. 문제는 “십각형의 대각선은 몇 개인가?”였다. 학생은 답안지에 10×3=30이라고 적고, 대각선은 한 꼭짓점에서 세 개씩 나온다고 설명했다.

답보다 먼저 확인한 한 줄

학생은 오각형 예제에서 외운 ‘꼭짓점 수에 3을 곱한다’는 순서를 그대로 적용하고 있었다. 계산 자체가 틀어진 최초의 판단은 도형의 꼭짓점 하나에서 실제로 연결할 수 있는 선을 확인하지 않고, 기억한 예제의 계산식을 바로 가져온 것이었다. 대각선은 변과 달리 서로 이웃한 꼭짓점으로는 그을 수 없고, 출발한 꼭짓점 자체에도 연결하지 않는다는 조건을 문제 그림에 적용하지 않은 상태였다.

학생에게 십각형을 그리고 꼭짓점 하나를 A로 표시하게 했다. A에서 다른 아홉 꼭짓점을 차례로 세되, A와 이웃한 두 꼭짓점에는 작은 X를 표시했다. A로 돌아오는 경우도 제외하자 선을 그을 수 있는 곳은 9개에서 3개를 뺀 6개였다. 따라서 한 꼭짓점에서 대각선은 10-3=7개가 아니라는 점을 다시 확인했다. 여기서 제외되는 것은 자기 자신 한 곳과 양옆의 두 꼭짓점이므로, 정확히는 10-1-2=7개였다.

그런데 학생은 “한 꼭짓점에서 7개이니 10×7=70개”라고 이어 적었다. 이번에는 같은 대각선을 양 끝 꼭짓점에서 두 번 센다는 문제가 생겼다. 선분 하나를 양쪽 끝에서 각각 세었으므로 마지막에 2로 나누어야 한다.

십각형의 대각선 수 = 10×7÷2 = 35

공식만 외우지 않도록, 학생은 각 꼭짓점에서 나온 대각선을 서로 다른 색으로 표시했다. A에서 B까지 그은 선과 B에서 A까지 그은 선은 같은 선이라는 것을 그림 위에서 겹쳐 확인했다. 이 과정을 통해 n개의 꼭짓점에서 각각 n-3개를 세고, 중복된 두 번의 기록을 한 번으로 줄인다는 이유를 자신의 말로 적었다.

도형의 방향이 바뀌어도 같은 판단을 하는가

다음 문제는 오각형을 옆으로 회전해 그린 그림이었다. “대각선의 개수”를 묻지 않고 “변이 아닌 꼭짓점 연결선은 모두 몇 개인가?”라고 표현되어 있었다. 학생은 그림이 기울어져 있어 잠시 변을 대각선으로 착각했지만, 꼭짓점에 1부터 5까지 번호를 붙인 뒤 1번에서 연결 가능한 점을 적었다. 2번과 5번은 변으로 제외하고, 3번과 4번만 남겨 한 꼭짓점에서 두 개가 나온다고 판단했다.

이번에는 5×2를 계산한 뒤 바로 2로 나누어 5개라고 답했다. 질문의 표현이 달라져도 ‘이웃한 꼭짓점과 자기 자신을 제외한다’는 조건을 먼저 확인했기 때문에, 도형의 방향이나 질문 순서에 끌려가지 않았다. 학생은 답 옆에 “회전해도 꼭짓점 사이의 연결 관계는 변하지 않는다”라고 짧게 근거를 남겼다.

힌트 없이 다시 재현한 장면

수업 후반에는 새로운 문제를 제시했다. 그림에는 구각형이 위아래로 뒤집혀 있고, “서로 이웃하지 않은 두 꼭짓점을 연결하는 선분은 모두 몇 개인가?”라고 적혀 있었다. 교사는 공식이나 제외할 수를 말하지 않았다. 학생은 먼저 꼭짓점 수를 9개로 세고, 한 꼭짓점에서 자기 자신과 양옆 두 점을 제외하면 6개라고 적었다. 이어서 9×6÷2=27을 계산했다.

학생은 여기서 멈추지 않고 검산했다. “각 꼭짓점에서 6개씩 세면 총 54번 기록되지만, 하나의 대각선은 양 끝에서 각각 한 번씩 기록된다. 그래서 2로 나누어 27개가 된다”고 설명했다. 또 첫 문제의 십각형에서는 35개, 이번 구각형에서는 27개라고 비교하며, 숫자를 외운 것이 아니라 꼭짓점 수와 연결 조건으로 다시 세웠음을 확인했다.

상당구과외에서 이 학생의 풀이를 정리할 때도 계산 결과보다 그림에 표시한 제외 대상과 중복 확인을 중심에 두었다. 상당구중1수학과외 학습에서도 다각형이 회전되거나 질문이 바뀌면 먼저 꼭짓점 수를 확인하고, 한 꼭짓점에서 가능한 연결 수를 정한 뒤, 같은 선을 두 번 센 것은 아닌지 검산하는 순서를 재현하도록 기록했다.