내덕동 고2수학과외







부분합 식 하나로 수열의 구조 읽기
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Sn = 2n2 + 3n
이 식을 보고 곧바로 일반항을 an = 2n2 + 3n이라고 적은 것이 오류의 출발점이었다. Sn은 첫째 항부터 n째 항까지의 합이므로, 한 항을 구하려면 인접한 부분합의 차를 계산해야 한다.
부분합에서 일반항 복원하기
정의에 따라
an = Sn − Sn−1
이다. 따라서
Sn−1 = 2(n−1)2 + 3(n−1) = 2n2 − n − 1
이므로
an = (2n2 + 3n) − (2n2 − n − 1) = 4n + 1
일반항은 an = 4n + 1이다. 따라서 첫째항은 a1 = 5, 공차는 d = 4이다.
계수만 보고 첫째항과 공차를 찾는 방법
등차수열의 첫째항을 a, 공차를 d라고 하면 부분합은
Sn = n/2 {2a + (n−1)d} = d/2 n2 + (2a−d)/2 n
으로 정리된다.
일반적인 이차식 비교
부분합이
Sn = An2 + Bn
의 꼴이라면 계수 비교로
d = 2A, 2a − d = 2B
를 얻는다. 즉
a = A + B
이다. 위 식에서는 A=2, B=3이므로 공차는 4, 첫째항은 5가 된다.
변형 문제에서 생기는 판단
다음과 같이 부분합이 주어졌다고 하자.
Sn = 3n2 − 2n
이때 계수 비교를 하면
d = 6, a = 3 − 2 = 1
이다. 실제 일반항도
an = Sn − Sn−1 = 6n − 5
이므로 a1=1, d=6과 일치한다.
마지막 검산은 부분합으로 돌아가기
처음 문제의 일반항 an=4n+1을 다시 합하면
Σ(4k+1) = 4·n(n+1)/2 + n = 2n2 + 3n
이 되어 주어진 Sn과 정확히 일치한다. 반대로 Sn 자체를 일반항으로 사용하면 첫째항이 5가 아니라 2(1)2+3(1)=5로 우연히 같아 보여도, 둘째항부터 실제 수열의 차이가 달라진다. 따라서 부분합 문제에서는 반드시 Sn−Sn−1을 먼저 확인해야 한다.
이런 유형은 내덕동과외에서 식의 모양을 암기하기보다 부분합과 일반항의 역할을 구분하는 연습으로 정리할 수 있다.
기호가 달라지면 낯설게 느껴질 때
같은 관계라도 문자의 이름이나 제시 순서가 바뀌면 새로운 문제처럼 보일 수 있습니다. 각 기호가 나타내는 대상을 먼저 적고 이전에 배운 표현과 대응시켜 보세요. 현재 단원의 기호를 외우는 데서 그치지 않고 역할을 이해했는지 확인할 수 있습니다.
비슷한 용어를 구분해서 정리하기
현재 단원에서 이름이 비슷한 개념 두 개를 골라 각각 무엇을 설명하는지 적어 보세요. 공통점만 외우기보다 서로 바꾸어 사용할 수 없는 조건을 찾아보면 차이를 이해하기 쉽습니다. 수업에서는 용어 정의를 반복하는 대신 두 개념을 구별해야 하는 예를 질문할 수 있습니다.
현재 학습에서 함께 살펴볼 범위
고등 수학
현재 수강 과목과 시험 범위를 먼저 확인하고 개념, 식의 변형, 함수와 그래프, 문제 조건의 해석을 연결합니다. 선택 과목은 실제 이수 범위에 맞춰 준비하며 내신 답안과 모의고사 풀이 시간은 구분해 점검합니다.
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미분을 배우는 과목을 수강한다면 f(x) = x³에서 f′(x) = 3x²를 구하고 x = 1에서의 순간변화율이 3임을 확인합니다. 계산 규칙을 적용하는 것과 그래프에서 변화율을 해석하는 것을 구분합니다.
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확률을 배우는 과목을 수강한다면 공정한 주사위에서 짝수가 나올 확률을 3/6 = 1/2로 구합니다. 가능한 결과가 같은 가능성을 갖는다는 조건을 확인한 뒤 전체 경우와 해당 경우를 구분합니다.
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