내덕동 중2수학과외
표현이 달라져도 확률의 기준을 놓치지 않는 풀이
내덕동과외 수업에서 학생은 확률 문제를 풀 때 계산 자체보다 ‘전체 경우’와 ‘원하는 경우’를 어디까지 세어야 하는지 자주 확인했다. 내덕시영아파트와 내덕칠거리가 있는 생활권, 각리중학교와 주성중학교 등이 포함된 지역의 중2수학과외 사례에서도 같은 장면이 나타난다. 표로 제시된 문제를 식으로 바꾸는 과정에서 숫자는 맞게 옮겼지만, 질문의 방향이 바뀌자 한 줄의 판단이 달라졌다.
처음 남은 한 줄에서 드러난 오류
상자에 빨간 공 3개와 파란 공 2개가 있고 공 하나를 꺼낼 때, 학생은 전체 5가지와 빨간 공 3가지를 적어 3/5라고 계산했다. 이어서 “빨간 공이 나오지 않을 확률”을 묻는 변형에서는 파란 공의 수를 세어 2/5를 얻었다. 여기까지는 직접 원하는 경우를 세는 방식으로 맞았다.
문제의 표현이 바뀌어 “빨간 공이 나올 확률을 구하라”가 아니라 “빨간 공이 나오지 않을 확률의 여사건을 이용하라”고 제시되자, 학생은 먼저 빨간 공이 나오지 않을 확률을 2/5로 계산한 뒤 그대로 답으로 적으려 했다. 결과가 틀어진 최초의 선택은 계산 실수가 아니라 여사건의 확률을 구한 뒤 1에서 빼야 한다는 연결을 보류한 것이었다.
여사건을 구했다면 그것은 원래 사건의 답이 아니라, 원래 사건과 합쳐 전체 경우가 되는 나머지 사건의 답이다.
한 가지 관계만 바로 세우기
학생은 풀이를 전부 지우지 않고, 이미 적은 2/5 옆에 ‘빨간 공이 나오지 않음’이라고 표시했다. 그 아래에 원래 사건을 ‘빨간 공이 나옴’으로 적고 두 사건이 겹치지 않으며 전체를 이룬다는 점을 확인했다. 따라서
빨간 공이 나올 확률 = 1 - 빨간 공이 나오지 않을 확률 = 1 - 2/5 = 3/5
로 연결했다. 이후 직접 세는 방법으로도 빨간 공 3개와 전체 공 5개를 비교해 3/5가 나오는지 검산했다. 새 풀이법을 여러 개 추가한 것이 아니라, ‘여사건의 확률을 1에서 뺀다’는 한 판단만 보완하고 기존의 경우 세기와 확인 과정은 유지했다.
표에서 선택 과정으로 바꾼 문제
다음 문제는 공을 한 번 꺼내는 상황이 아니었다. 숫자 1, 2, 3이 적힌 카드 중 하나와 색깔 카드 빨강, 파랑 중 하나를 차례로 뽑아 한 쌍을 만들었다. 학생은 표를 그려 전체 경우를 다음처럼 나누었다.
- 1-빨강, 1-파랑
- 2-빨강, 2-파랑
- 3-빨강, 3-파랑
“짝수 숫자와 빨강 카드가 함께 나올 확률”은 원하는 경우 1개, 전체 경우 6개이므로 1/6이라고 적었다. 이번에는 표를 그대로 암기하지 않고, 숫자 선택 3가지 중 짝수인 경우 1가지와 색깔 선택 2가지 중 빨강인 경우 1가지를 분리했다. 원하는 선택은 1×1, 전체 선택은 3×2이므로 1/6이라는 같은 관계를 확인했다. 단계별 선택 수를 나누어 세면 표가 없어도 중복 없이 전체 경우를 만들 수 있다는 점을 풀이 옆에 적었다.
질문 방향을 바꾼 독립 확인
힌트 없이 새 문제를 제시했다. 주머니에는 초록 구슬 2개와 노란 구슬 4개가 있고, 구슬 하나를 뽑는다. “노란 구슬이 나오지 않을 확률의 여사건”을 구하라는 질문이었다. 학생은 문제의 마지막 말을 먼저 읽고, 원래 사건을 ‘노란 구슬이 나오지 않음’으로 정했다. 전체 구슬은 6개, 그 사건에 해당하는 초록 구슬은 2개이므로 2/6이라고 적은 뒤, 여사건인 노란 구슬의 확률은
1 - 2/6 = 4/6 = 2/3
이라고 설명했다. 이어 직접 노란 구슬 4개와 전체 6개를 비교해 4/6이 되는지 확인했고, 두 확률의 합이 1인지도 점검했다. 학생은 “먼저 센 2/6은 질문의 답이 아니라 여사건의 값이고, 질문한 사건은 그 나머지라서 1에서 빼야 한다”고 풀이 이유를 스스로 말할 수 있었다.
내덕동중2수학과외에서 확인한 변화는 정답 숫자보다 판단의 순서에 있다. 표, 식, 단계별 선택, 여사건이라는 표현이 달라져도 학생은 전체 경우를 정하고 원하는 사건을 구한 뒤, 여사건이면 1에서 빼는 관계를 직접 재현했다.