내덕동 고1수학과외







내덕동 고1수학과외: 선분의 외분에서 경계값을 놓치지 않는 연습
문제에 제시된 두 점과 비의 순서는 읽었지만, 외분에서는 두 선분이 서로 반대 방향에 놓인다는 점을 반영하지 못한 것이다.
문자 역할을 먼저 구분하자
점 A(x₁,y₁), B(x₂,y₂)를 m:n으로 외분하는 점 P는
P = ((m x₂ - n x₁)/(m-n), (m y₂ - n y₁)/(m-n))
으로 나타낸다. 단, m=n이면 분모가 0이므로 유한한 외분점이 정해지지 않는다. 학생은 풀이 첫 줄에 m은 A 쪽 비, n은 B 쪽 비라고 적고, 외분에서는 분모와 분자의 부호가 달라진다는 역할 표시를 남겼다. 이 한 가지 표시로 내분 공식과 외분 공식을 섞는 오류를 줄였다.
A(1,2), B(7,5)를 2:1로 외분하면
P = ((2×7-1×1)/(2-1), (2×5-1×2)/(2-1)) = (13,8)
이다. 계산 뒤에는 P가 B의 바깥쪽에 있어야 한다는 위치를 확인했다. 좌표상 A, B, P가 같은 직선 위에 놓이고 P가 B 너머에 있으므로, 단순히 숫자만 맞춘 것이 아니라 외분의 의미까지 연결할 수 있었다.
표현이 바뀐 조건에서도 같은 기준 적용하기
다음에는 “점 P가 B의 바깥쪽에 있고 AP:PB=3:1이다”라는 문장형 조건을 사용했다. A(-2,1), B(4,7)일 때 학생은 문장에서 비의 순서를 먼저 정리한 뒤
P = ((3×4-1×(-2))/(3-1), (3×7-1×1)/(3-1)) = (7,10)
을 얻었다. 숫자만 바꾼 문제가 아니라, 좌표와 비가 식으로 직접 주어지지 않은 상황에서도 문장의 역할을 식으로 옮기는 연습이었다.
답을 고른 뒤 위치로 검증하기
마지막에는 계산식을 다시 반복하지 않고, A(-2,1), B(4,7), P(7,10)의 좌표 차를 비교했다. AB의 좌표 차는 (6,6), BP의 좌표 차는 (3,3)이므로 P는 B의 바깥쪽에 있으며 AP:PB=3:1이 성립한다. 또한 외분비의 두 수가 같아지는 경우에는 분모가 0이 된다는 점도 함께 확인해 경계값을 놓치지 않도록 했다.
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현재 학습에서 함께 살펴볼 범위
고등 수학
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조건 때문에 제외되는 값 찾기
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위 내용은 지도 범위와 연습 방법을 설명하는 예시입니다. 학생이 이미 배운 내용과 현재 진도에 맞춰 적용하며, 모든 내용을 한 수업에서 진행하지 않습니다.
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