전주 중1수학과외
문장 속 조건을 식으로 옮기는 중1수학 풀이
전주 신시가지와 서부신시가지가 이어지는 생활권에서 중1수학과외를 진행하던 중, 학생은 문장제 문제의 계산보다 앞 단계에서 자주 멈췄다. 전주온빛중학교가 포함된 생활권의 학습 사례를 살펴보며 확인한 문제는 다음과 같았다.
어떤 수에 5를 더한 수의 3배가 27일 때, 어떤 수를 구하여라.
학생은 문제를 읽고 공책에 곧바로 3×27-5를 적었다. 27에 먼저 3을 곱한 뒤 5를 빼면 된다고 생각한 것이다. 계산 결과는 76이었지만, 이 값은 문제에서 말한 ‘어떤 수’가 실제로 무엇을 뜻하는지 확인하지 않은 채 숫자부터 처리한 결과였다.
답을 구하기 전에 미지수의 뜻부터 정리하다
풀이를 되짚으면서 학생이 처음 놓친 판단은 계산 실수가 아니라 미지수를 정하지 않고 식의 숫자 관계부터 조작한 것임을 확인했다. 공책의 첫 줄을 지우지 않고, 그 아래에 다음처럼 다시 적었다.
- 어떤 수를 x라고 둔다.
- 어떤 수에 5를 더하면 x+5이다.
- 그 수의 3배가 27이므로 3(x+5)=27이다.
이제 괄호 안의 대상이 먼저 정해졌다. 양변을 3으로 나누어 x+5=9를 만들고, 양변에서 5를 빼 x=4를 얻었다. 학생은 구한 4를 원래 문장에 다시 넣어 ‘4에 5를 더하면 9, 9의 3배는 27’이라고 말로 확인했다. 숫자 27을 먼저 계산에 사용하는 것이 아니라, 문장에서 가리키는 대상을 x로 바꾼 뒤 조건을 등식으로 옮겨야 한다는 점이 풀이의 기준이 되었다.
같은 조건을 다른 표현으로 다시 읽기
다음 문제에서는 문장 대신 표와 분수 표현을 사용했다.
어떤 수에 1/2을 더한 값의 4배가 10이다. 어떤 수를 구하여라.
학생은 이번에는 먼저 ‘어떤 수’를 x로 표시하고, 문장의 순서를 표처럼 나누어 적었다.
- 처음 수: x
- 1/2을 더한 수: x+1/2
- 그 값을 4배한 수: 4(x+1/2)
- 조건: 4(x+1/2)=10
양변을 4로 나누어 x+1/2=5를 만든 뒤, 양변에서 1/2을 빼 x=4와 1/2을 얻었다. 학생은 결과가 양수이고 5보다 작다는 점을 먼저 예상한 뒤, 원래 식에 대입했다. 4와 1/2에 1/2을 더하면 5이고, 이를 4배하면 20이 되어 문제의 10과 맞지 않았다. 여기서 중간 계산을 다시 살펴보니 10을 4로 나눈 값은 5가 아니라 2와 1/2이었다. 따라서 x+1/2=2와 1/2, x=2가 되어야 했다.
이 장면은 미지수 설정이 식을 세우는 데만 필요한 것이 아니라, 계산 중간의 값이 조건에 맞는지 추적하는 기준도 된다는 점을 보여 주었다. 학생은 수정한 값 2를 대입하여 2+1/2=2와 1/2, 그 4배는 10이라고 검산했다.
조건의 순서를 바꾸어도 같은 방식으로 확인하기
힌트를 주지 않고 조건의 순서를 바꾼 문제를 제시했다.
어떤 수의 2배에 6을 더하면 18이다. 이 수를 구하여라.
학생은 먼저 ‘어떤 수’를 x로 두고, ‘그 수의 2배’를 2x로 적었다. 이어서 6을 더한다는 조건을 붙여 2x+6=18을 세웠다. 양변에서 6을 빼 2x=12를 만들고, 양변을 2로 나누어 x=6을 구했다. 이번에는 식을 세우기 전에 ‘답은 6보다 커야 하는가, 작아야 하는가’를 따로 판단하지 않고, 원래 조건을 이용해 직접 확인했다. 6의 2배에 6을 더하면 18이므로 값이 조건을 만족한다는 근거도 스스로 설명했다.
마지막으로 학생은 앞의 세 문제에서 공통으로 지킨 순서를 말로 재현했다. “먼저 문제에서 찾는 수를 x로 정하고, 그 수에 무엇을 했는지 차례대로 식에 쓴다. 등식이 완성되면 양변에 같은 연산을 하며 x를 남긴다. 끝에서는 구한 값을 처음 문장이나 식에 넣어 조건을 확인한다.”
전주과외 수업에서 확인한 변화는 정답 개수보다 이 한 줄의 풀이 과정에 있었다. 전주중1수학과외에서도 문장 속 숫자를 바로 계산하지 않고, 미지수와 등식의 관계를 먼저 세우는 연습을 이어 간다면 표현이 바뀐 문제에서도 같은 개념을 스스로 재현할 수 있다.