인천동구 중1수학과외

표의 숫자만 보지 않고 반비례 관계를 확인한 풀이

송현지구와 송림지구가 이어지는 생활권, 그리고 동산중학교·화도진중학교·재능중학교가 포함된 인천동구에서 중1 수학 과외를 진행하며 한 학생의 표 자료 문제를 살펴보았다. 문제는 한 사람이 일을 끝내는 데 걸리는 시간과 필요한 사람 수의 관계를 표로 제시하고, 빈칸과 관계식을 묻는 내용이었다.

표에는 사람 수가 2명, 4명, 8명으로 늘어날 때 걸리는 시간이 각각 12시간, 6시간, 3시간으로 적혀 있었다. 학생은 먼저 사람 수와 시간을 더해 보며 “2+12=14, 4+6=10”이라고 옆에 기록했다. 합이 일정하지 않자 이번에는 두 수의 차를 비교했고, 표의 숫자들을 한 줄씩 읽어 관계를 찾으려 했다.

오답이 시작된 지점

학생의 계산 결과가 틀어진 최초의 판단은 두 양의 관계를 더하기로 정한 순간이었다. 이 문제에서는 한쪽 값이 커질수록 다른 쪽 값이 작아지고, 두 값을 곱한 결과가 일정한지를 살펴야 했다. 그런데 학생은 표에 나타난 증가와 감소를 확인하지 않은 채 덧셈부터 시작했다.

나는 새로운 풀이를 전부 다시 쓰게 하지 않고, 이미 적어 둔 표를 그대로 활용하도록 했다. 각 행의 사람 수와 시간을 곱해 보게 하자 학생은 다음과 같이 정리했다.

• 2명 × 12시간 = 24
• 4명 × 6시간 = 24
• 8명 × 3시간 = 24

세 행에서 곱이 모두 24로 같다는 사실을 확인한 뒤, 사람 수를 x, 걸리는 시간을 y라고 놓았다. 따라서 이 표에서 성립하는 관계는 xy=24이고, 시간을 구할 때는 y=24÷x로 나타낼 수 있다고 적었다. 단순히 한 값이 커지면 다른 값이 작아진다는 관찰만으로 끝내지 않고, 실제 대응값을 곱해 일정한지 확인한 점이 핵심이었다.

표에서 문장으로 바꾸어 다시 판단하기

같은 숫자를 반복해서 묻지 않기 위해 문제의 형태를 바꾸었다. 이번에는 “작업 인원이 6명일 때 4시간이 걸린다면, 인원을 12명으로 늘렸을 때 걸리는 시간은 얼마인가?”라는 문장으로 제시했다. 학생은 곧바로 4시간의 절반인 2시간이라고 답하지 않고, 먼저 조건을 표시했다.

“사람 수 × 시간 = 일정”이라고 문장 옆에 적은 뒤, 주어진 두 값으로 일정한 곱을 구했다.

• 6 × 4 = 24
• 12 × 시간 = 24
• 시간 = 24 ÷ 12 = 2

이때 학생은 인원이 두 배가 되면 시간이 절반이 된다는 말이 언제나 성립하는 것이 아니라, 이 문제에서 두 양의 곱이 일정하다는 조건이 있을 때만 사용할 수 있다고 설명했다. 처음의 표 풀이에서 놓쳤던 조건을 문장 문제에서도 먼저 확인한 것이다.

경계에 있는 값은 관계를 다시 확인하기

다음 문제에서는 표에 사람 수 1명, 2명, 4명이 제시되고, 시간은 24시간, 12시간, 6시간으로 주어졌다. 학생은 “1명일 때는 너무 큰 값이므로 반비례 관계에서 제외해야 한다”고 말했다. 그러나 1명이라는 값 자체가 제외 조건은 아니었다.

학생이 판단을 멈춘 지점에서 표의 대응값을 식에 넣어 보게 했다. 1×24=24, 2×12=24, 4×6=24이므로 1명일 때도 같은 관계가 성립했다. 반대로 사람 수가 0명이라면 시간을 정할 수 없으므로, 관계식에 넣을 수 있는 값인지 조건을 따로 살펴야 한다. 학생은 표에 실제로 주어진 값과 관계식에서 의미가 없는 값을 구분해 표시했다.

표의 모든 값을 무조건 제외하거나 포함하지 않고, 대응값을 곱해 일정한지 확인한 뒤 조건에 맞는지 판단한다.

힌트 없이 완성한 마지막 풀이

수업 끝에는 설명과 표시를 지운 뒤 새로운 표현으로 문제를 제시했다. “어떤 작업에서 인원 수와 소요 시간이 다음 관계를 만족한다. 인원 수가 3명일 때 8시간이라면, 1명과 6명일 때의 시간을 각각 구하고 이 관계가 반비례인지 판단하라.”라는 문장이었다.

학생은 먼저 3×8=24를 계산하고, 관계식을 사람 수×시간=24로 세웠다. 1명일 때는 24÷1=24시간, 6명일 때는 24÷6=4시간이라고 구했다. 이어 1×24=24, 6×4=24를 원래 관계에 다시 대입해 확인했다.

마지막으로 학생은 “사람 수와 시간이 서로 반대 방향으로 변하고, 대응하는 두 값을 곱하면 항상 24가 되므로 반비례 관계이다. 단, 주어진 조건에 맞는 값인지 먼저 확인해야 한다”고 스스로 설명했다. 인천동구과외 수업에서 시작한 한 표의 오답이 식과 문장으로 이어졌고, 인천동구중1수학과외에서는 힌트 없이 같은 개념을 다시 세우고 검산하는 단계까지 확인할 수 있었다.