인천동구 고2수학과외







누적확률표에서 보이지 않던 개별확률
동산고등학교 학생의 풀이 기록에는 다음과 같은 누적분포표가 있었다.
| k | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| P(X≤k) | 0.2 | 0.5 | 0.8 | 1 |
학생은 이 값을 그대로 읽어 P(X=1)=0.5라고 적었다. 그러나 누적확률은 해당 값 이하의 확률을 모두 더한 결과이므로, 개별확률과 같지 않다.
한 칸의 차이가 개별확률을 만든다
누적분포함수를 F(k)=P(X≤k)라 하면, 이산확률변수에서
P(X=k)=F(k)-F(k-1)
이다. 따라서
P(X=0)=F(0)=0.2P(X=1)=F(1)-F(0)=0.5-0.2=0.3P(X=2)=F(2)-F(1)=0.8-0.5=0.3P(X=3)=F(3)-F(2)=1-0.8=0.2
교정된 분포표와 검증
| k | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| P(X=k) | 0.2 | 0.3 | 0.3 | 0.2 |
개별확률의 합은 0.2+0.3+0.3+0.2=1이므로 확률분포 조건도 만족한다. 또한 P(X≤2)=0.2+0.3+0.3=0.8로 원래 누적확률표와 일치한다.
잘못된 누적확률 자료를 판별하는 기준
누적확률은 값이 커질수록 감소하지 않아야 한다. 예를 들어 F(1)=0.6인데 F(2)=0.4라면, P(X=2)=F(2)-F(1)=-0.2가 되어 확률로서 불가능하다. 따라서 누적확률의 감소 여부와 인접한 값의 차이를 함께 확인해야 한다.
풀이 습관의 전환
인천동구과외에서 이 유형을 다룰 때는 표의 숫자를 곧바로 개별확률로 옮기지 않고, 먼저 각 값이 누적값인지 확인한다. 이후 첫 값은 그대로 사용하고, 두 번째 값부터는 바로 앞 누적확률을 빼면 원래 분포를 안정적으로 복원할 수 있다.