인천동구 고3수학과외
경계 하나가 이항분포의 결론을 바꾼 순간
송현지구와 송림지구가 이어지는 생활권에서 수능 수학을 공부하던 학생은 이항분포 기출문제의 확률표를 보고 먼저 결론부터 예상하려 했다. 시행 횟수와 성공확률을 확인한 뒤, 성공 횟수의 기준이 되는 경계가 어디인지 표시하는 습관을 만들던 중이었다. 인천동구고3수학과외에서 다룬 문제와 비슷해 보였지만, 이번에는 계산보다 사건의 끝점을 먼저 검증해야 했다.
“성공 횟수가 평균보다 크면 오른쪽 사건, 작으면 왼쪽 사건으로 처리하면 되지 않나요?”
예를 들어 X~B(5, 0.4)일 때 “성공 횟수가 2 이상일 확률”을 구한다면 사건은 X≥2이다. 평균이 2라는 이유만으로 평균보다 큰 값만 남기면 X=2를 빠뜨리게 된다. 학생은 처음에 ‘평균보다 큰 경우’라는 일반적인 판단을 경계값에도 그대로 적용해 X>2로 바꾸었다. 최초의 문제는 계산 실수가 아니라, 문제의 사건을 확률조건과 섞은 채 경계값을 확인하지 않은 것이었다.
평균은 경계를 정하지 않는다
학생에게 먼저 사건과 확률조건을 분리해 쓰게 했다. 사건은 X≥2이고, 확률은 그 사건에 속하는 결과들의 확률을 더하는 대상이다. 따라서
P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)
로 적어야 한다. 이항분포의 확률식은
P(X=k)=C(5,k)(0.4)k(0.6)5-k
이므로 k=2를 제외하면 안 된다. 교정은 복잡하지 않았다. 학생은 첫 줄에 사건을 기호로 옮긴 뒤, 경계값 2를 실제 식에 대입했다. P(X=2)=10×0.42×0.63은 0이 아니므로, X=2를 제거할 근거가 없다는 사실을 바로 확인했다. 일반적인 모양이나 평균의 위치가 아니라, 사건에 포함되는 정수값을 기준으로 판단한 것이다.
경계의 양옆을 직접 시험하다
같은 원리를 확인하기 위해 조건을 “성공 횟수가 2보다 작은 확률”로 바꾸었다. 이번 사건은 X<2가 아니라 이항분포에서 가능한 정수만 고려해 X=0 또는 X=1이다. 학생은 이를 P(X≤1)로 바꾸어 적었다. 반대로 “2 이하”라면 P(X≤2)가 되어 X=2를 포함한다.
이때 학생은 경계 바로 왼쪽과 오른쪽을 따로 적었다.
- “2 이상”: 2, 3, 4, 5 포함
- “2 초과”: 3, 4, 5 포함
- “2 이하”: 0, 1, 2 포함
- “2 미만”: 0, 1 포함
표현의 차이가 단순한 말장난이 아니라 실제 확률항 하나의 포함 여부를 결정한다는 점이 드러났다. 이 과정에서 그래프나 평균을 먼저 해석하지 않고, 기준 숫자와 부등호를 원래 사건에 대입해 확인하는 순서가 자리 잡았다. 인천동구과외 수업에서도 이런 식으로 경계값을 별도 표시하면, 비슷한 문제를 같은 유형으로 뭉뚱그리는 실수를 줄일 수 있다.
조건을 바꾼 무힌트 재적용
다음 날에는 해설을 가린 채 새로운 상황을 제시했다. 한 선수가 4번의 자유투에서 성공할 확률이 0.7일 때, 성공 횟수 Y가 “3보다 많지 않을” 확률을 구하는 문제였다. 숫자만 바꾼 문제가 아니라, ‘이상’ 대신 ‘많지 않을’이라는 표현으로 사건의 방향을 바꾼 것이다.
학생은 먼저 Y≤3이라고 해석하고, 가능한 값 0, 1, 2, 3을 적었다. 이어 빠지는 값은 Y=4 하나뿐이므로 P(Y≤3)=1-P(Y=4)라고 정리했다. 여기서 P(Y=4)=(0.7)4이며, Y=3을 누락하지 않았다. 첫 식 옆에는 “경계 3 포함”이라고 직접 써 두었다. 이전 풀이를 외운 것이 아니라, 표현을 사건으로 바꾸고 경계값을 대입하는 행동을 다시 사용한 것이다.
마지막 검증에서는 조건 하나를 없애 보았다. “Y가 3보다 많지 않다”에서 ‘많지 않다’를 ‘3보다 작다’로 잘못 바꾸면 Y=3이 사라진다. 학생은 Y=3의 확률이 C(4,3)(0.7)3(0.3)으로 양수임을 계산해 반례를 만들었다. 이어 경계의 왼쪽 값 2와 오른쪽 값 4를 비교하고, 원래 문장에 다시 대입해 포함 여부를 설명했다. 새 문제에서도 평균이나 익숙한 규칙보다 부등호와 경계값을 먼저 확인했으므로, 이항분포의 사건 경계 판단이 힌트 없이 유지되는지까지 확인할 수 있었다.