원당지구 중등수학과외

원당지구중등수학과외, -17x<34와 -17x≤34에서 -2의 포함 여부 확인하기

일차부등식에서 기본 문제를 풀 수 있어도 부등호 하나가 바뀐 비교 문제에서는 판단이 멈출 수 있습니다. 이번 수업 장면은 -17x<34를 풀어 x>-2를 설명할 수 있는 상태에서, -17x≤34로 조건이 바뀌었을 때 해의 범위를 혼자 조정하는지를 살피는 경우입니다. 두 식 모두 x의 계수가 -17이고 34를 -17로 나누어야 한다는 관계는 같습니다. 답을 가르는 조건은 처음의 부등호가 <인지 ≤인지, 그리고 음수 -17로 나눌 때 부등호 방향을 뒤집어야 한다는 점입니다. 원당지구중등수학과외에서는 기본 풀이를 처음부터 반복하기보다, 바뀐 기호가 해의 경계에 어떤 차이를 만드는지 식과 수직선으로 연결해 확인할 수 있습니다.

음수로 나누는 순간 부등호가 왜 뒤집히는가

기본 과제 -17x<34에서는 x만 남기기 위해 양변을 -17로 나눕니다. 이때 음수로 나누면 수의 대소 관계가 반대로 바뀌므로, -17x<34에서 x>34÷(-17), 즉 x>-2가 됩니다. 단순히 ‘음수면 뒤집는다’고 외우기보다, -17을 곱하면 수직선의 순서가 반대가 된다는 관계를 확인하는 편이 안전합니다. 해 범위표에는 왼쪽에 원래 식, 가운데에 ‘-17로 나눔’, 오른쪽에 방향이 <에서 >로 바뀐 식을 적습니다. 수직선에서는 -2에 빈 동그라미를 그리고 오른쪽을 칠합니다. -2는 x>-2에 포함되지 않기 때문입니다. 실제로 x=-1을 원식에 넣으면 17<34로 참이지만, x=-3을 넣으면 51<34가 거짓이어서 오른쪽 방향이 맞는지도 확인할 수 있습니다.

비교 문제에서는 방향은 같고 경계의 표시가 달라집니다

비교 과제 -17x≤34는 계수와 나누는 수가 기본 과제와 같으므로, -17로 나눌 때 ≤는 ≥로 뒤집힙니다. 따라서 x≥34÷(-17), 곧 x≥-2입니다. 여기서 새롭게 표시할 부분은 ‘≤’의 등호입니다. 기본 과제의 <는 경계값 -2를 제외했지만, 비교 과제의 ≤는 원식에서 x=-2를 허용합니다. 직접 대입하면 -17×(-2)=34이므로 34≤34는 참입니다. 수직선에는 -2를 채운 동그라미로 표시하고 오른쪽을 칠해야 합니다. x=-1을 대입하면 17≤34로 참이고, x=-3을 대입하면 51≤34로 거짓입니다. 따라서 두 문제의 해가 모두 -2의 오른쪽이라는 점만 보고 같다고 판단하면 안 됩니다. 기본 과제는 -2를 빼고, 비교 과제는 -2까지 포함한다는 차이가 핵심입니다.

힌트 뒤의 답보다 혼자 고른 첫 단계를 확인합니다

교정할 때는 두 식을 나란히 적어 <와 ≤에 밑줄을 긋고, ‘-17로 나누면 어느 방향이 되는가?’를 한 번만 확인한 뒤 비교 문제의 첫 식 변형은 스스로 선택하게 합니다. 막힌 경우에만 수직선 뒤집기 카드로 음수 나눗셈 뒤 방향을 확인하고, 다시 본인 식으로 x≥-2를 완성하게 합니다. 이후에는 “기본 과제와 비교 과제에서 달라진 조건은 무엇인가요?”, “-2 자체는 각 부등식의 해에 포함되나요?”에 부등호와 대입 결과를 근거로 답하는지 봅니다. 다음 단계는 비교 과제에서 -17로 나누는 판단과 채운 동그라미의 이유를 도움 없이 적는 것입니다. 방향은 뒤집었지만 경계 포함을 놓친다면 -2 대입을 다시 확인하고, 경계는 구분했지만 방향 선택이 흔들린다면 음수로 나눈 직후의 부등호 변화를 별도로 점검합니다.