원당지구 고2수학과외







학생 풀이 기록에서 드러난 판단의 오류
원당지구에서 진행한 수업의 기록에는 곡선 y=x²와 접선이 x축, y축과 이루는 삼각형의 넓이가 2가 되는 접점을 구하는 과정이 남아 있었다. 학생은 접선의 절편을 구하는 대신 곡선 자체의 절편을 사용했다.
문제 조건
곡선 y=x² 위의 점 (t,t²)에서 그은 접선이 두 좌표축과 만드는 삼각형의 넓이가 2이고, 접점의 x좌표가 양수일 때 t를 구하여라.
잘못된 풀이
곡선의 x절편은 0이고 y절편도 0이므로 절편을 이용해 넓이를 계산하려 했다. 그러나 문제에서 요구한 절편은 곡선의 절편이 아니라 접선과 좌표축의 교점이다.
접선의 절편을 다시 계산하기
점 (t,t²)에서의 접선은 미분계수 2t를 이용해
y−t²=2t(x−t)
즉,
y=2tx−t²
이다.
두 축과의 교점
x축과 만날 때 y=0이므로
x=t/2
y축과 만날 때 x=0이므로
y=−t²
따라서 삼각형의 넓이는
1/2 × |t/2| × |−t²| = |t|³/4
이다.
넓이 조건과 접점 조건을 함께 검증하기
넓이가 2이므로
|t|³/4=2
따라서 |t|=2, 즉 후보는 t=2, t=−2이다.
하지만 접점의 x좌표가 양수라는 조건이 있으므로 t=−2는 제외된다. 최종 답은
t=2
이다. 실제 접선은 y=4x−4이고, 두 축과의 교점은 (1,0), (0,−4)이다. 넓이는 1/2×1×4=2로 조건과 일치한다.
새 문제에 적용할 판단 기준
접선과 좌표축이 만드는 도형에서는 곡선의 절편을 바로 사용하지 말고, 먼저 접선의 방정식을 세운 뒤 각 축에 대입해야 한다. 또한 절댓값을 포함한 넓이 계산으로 생긴 후보는 접점의 위치와 문제의 조건으로 다시 걸러야 한다. 이러한 과정을 익히는 데 인천고등학교와 서인천고등학교 인근의 원당지구과외 수업에서도 계산보다 조건 확인을 우선하도록 지도할 수 있다.