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원당지구 고2수학과외

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학생 풀이 기록에서 드러난 판단의 오류

원당지구에서 진행한 수업의 기록에는 곡선 y=x²와 접선이 x축, y축과 이루는 삼각형의 넓이가 2가 되는 접점을 구하는 과정이 남아 있었다. 학생은 접선의 절편을 구하는 대신 곡선 자체의 절편을 사용했다.

문제 조건

곡선 y=x² 위의 점 (t,t²)에서 그은 접선이 두 좌표축과 만드는 삼각형의 넓이가 2이고, 접점의 x좌표가 양수일 때 t를 구하여라.

잘못된 풀이

곡선의 x절편은 0이고 y절편도 0이므로 절편을 이용해 넓이를 계산하려 했다. 그러나 문제에서 요구한 절편은 곡선의 절편이 아니라 접선과 좌표축의 교점이다.

접선의 절편을 다시 계산하기

(t,t²)에서의 접선은 미분계수 2t를 이용해

y−t²=2t(x−t)

즉,

y=2tx−t²

이다.

두 축과의 교점

x축과 만날 때 y=0이므로

x=t/2

y축과 만날 때 x=0이므로

y=−t²

따라서 삼각형의 넓이는

1/2 × |t/2| × |−t²| = |t|³/4

이다.

넓이 조건과 접점 조건을 함께 검증하기

넓이가 2이므로

|t|³/4=2

따라서 |t|=2, 즉 후보는 t=2, t=−2이다.

하지만 접점의 x좌표가 양수라는 조건이 있으므로 t=−2는 제외된다. 최종 답은

t=2

이다. 실제 접선은 y=4x−4이고, 두 축과의 교점은 (1,0), (0,−4)이다. 넓이는 1/2×1×4=2로 조건과 일치한다.

새 문제에 적용할 판단 기준

접선과 좌표축이 만드는 도형에서는 곡선의 절편을 바로 사용하지 말고, 먼저 접선의 방정식을 세운 뒤 각 축에 대입해야 한다. 또한 절댓값을 포함한 넓이 계산으로 생긴 후보는 접점의 위치와 문제의 조건으로 다시 걸러야 한다. 이러한 과정을 익히는 데 인천고등학교와 서인천고등학교 인근의 원당지구과외 수업에서도 계산보다 조건 확인을 우선하도록 지도할 수 있다.

원당지구 고2수학과외 학부모 후기

새 수학 노트로 바꾼 날이라 어떤 식으로 정리했나 잠깐 들여다보게 됐어요. 어려운 문제 옆에 별표를 해둘 줄 알았는데, 계산한 줄마다 번호를 적어 놓고 다시 볼 곳을 구분해 두었더라고요. 원당지구 수학과외 관련해서 여러 이야기를 나누던 때에도 이런 부분은 눈여겨보지 못했거든요. 예전에는 다음에 확인할 문제를 따로 표시하지 않아서 노트를 다시 펴면 처음부터 전체 계산을 훑어야 했어요. 그런데 이번에는 어느 계산 줄을 살펴볼지 바로 찾을 수 있게 남겨 둔 모습이 달랐습니다. 학교 숙제를 끝낸 뒤에도 노트를 보니 앞에서처럼 계산 줄 번호가 적혀 있더라고요. 아직 확인하지 못한 부분은 따로 표시해 두어서, 이미 본 곳과 다시 볼 곳이 한눈에 나뉘어 있었습니다.

★★★★☆학부모 후기

다른 유형의 독해 문제를 풀고 있던 아이가 풀이를 잠시 들여다보더니, 답을 맞혔는지부터 확인하지 않고 처음 잘못된 식을 찾아 표시하더라고요. 어디를 다시 봐야 하는지 본인이 먼저 정해 둔 모습이라 잠깐 눈길이 갔어요. 수학 수행평가를 준비하던 밤, 방에 들어가 보니 오답 문제에서도 같은 방식으로 처음 틀린 식만 네모로 묶어 두고 있었습니다. 예전에는 풀이가 어디서 달라졌는지 살피기보다 정답인지 아닌지만 확인했거든요. 원당지구 수학과외를 찾아보던 때와 비교해도, 지금은 틀린 결과보다 시작된 지점을 먼저 짚어 놓는 모습이 눈에 띄었어요.

★★★★★학부모 후기

원당지구에서 수학 과외를 시작한 뒤, 시험 범위를 절반쯤 공부했을 때부터 마음이 조금씩 급해졌습니다. 원래는 계획을 미루다가 시험 직전에 몰아서 했는데, 선생님께서 쉬운 문제부터 다시 풀게 하고 중간중간 자연스럽게 질문해 주셔서 수업 일정에도 편하게 적응했습니다. 시험기간에도 평소 공부 흐름을 크게 놓치지 않게 된 점이 가장 좋았습니다.

★★★★★학부모 후기

시험 범위를 처음 받은 날, 아이가 원당지구 수학과외 선생님께 준비한 내용을 차분히 보여주는 모습이 기억에 남았습니다. 어려운 문제를 만나도 예전처럼 답지부터 찾지 않고 먼저 질문해 보며, 집중이 흐트러지면 문제를 바꾸고 그날 할 일과 다음 복습을 나눠 관리해 주셨습니다. 집에서도 수학을 시작할 때의 부담이 조금 줄어든 듯합니다.

★★★★★학부모 후기

새 학기를 앞두고 원당지구에서 수학 과외를 시작했을 때만 해도 아이는 기분 내키는 날에 숙제를 몰아서 하곤 했습니다. 선생님은 어려운 문제를 건너뛰고 쉬운 문제부터 풀던 순간에도 잘한 점을 구체적으로 짚어 주며 무리하게 진도를 재촉하지 않았고, 요즘은 모르는 내용을 숨기지 않고 먼저 질문하는 모습이 자연스러워졌습니다.

★★★★★학부모 후기