원당지구 중2수학과외

두 일차함수의 교점이 뜻하는 것을 읽어 내는 과정

원당지구와 가좌마을1.2단지, 가좌마을5.6단지, 범양상가가 이어지는 생활권에서 중2수학과외를 진행하며 두 일차함수의 그래프를 비교했다. 인천이음중학교, 인천아라중학교, 마전중학교, 원당중학교, 인천청라중학교가 포함된 지역에서 자주 만나는 유형이지만, 학교나 생활권보다 중요한 것은 그래프의 한 점이 두 식에서 어떤 의미를 갖는지 읽는 일이었다.

그래프를 본 순간 생긴 첫 판단

학생은 좌표평면에 그려진 두 직선을 보고 교점 근처에 동그라미를 쳤다. 한 직선은 오른쪽으로 갈수록 위로 올라가고, 다른 직선은 내려가는 모양이었다. 문제는 두 직선이 만나는 점의 좌표와 그 의미를 묻고 있었다.

학생은 먼저 눈금에서 교점을 대략 읽은 뒤, “위로 올라가는 선은 기울기가 2쯤 되고, 내려가는 선은 -1쯤 될 것 같다”고 적었다. 이어 그래프의 모양만으로 두 직선의 식을 확정하려고 했다. 절편이 정확히 어느 값인지, 두 점 사이에서 x와 y가 각각 얼마나 변하는지는 표시하지 않은 채 식을 세우려 한 것이다.

“선의 모양이 비슷하니 식도 이렇게 정하면 되겠지.”

이 문장이 풀이가 어긋나기 시작한 지점이었다. 교점의 좌표는 두 그래프가 만나는 위치일 뿐 아니라, 같은 x에서 두 함수의 y값이 같아지는 관계를 나타낸다. 모양만 보고 식을 정하면 교점의 의미를 식으로 확인할 수 없었다.

기울기와 교점의 관계를 다시 연결하다

학생은 이미 표시한 교점은 지우지 않고, 각 직선 위에서 눈금이 분명한 두 점을 골랐다. 첫 번째 직선에서는 x가 1만큼 증가할 때 y가 2만큼 증가하는지 확인하기 위해 두 점의 좌표를 나란히 적었다. 두 번째 직선에서는 오른쪽으로 2만큼 움직일 때 y가 1만큼 내려가는 것을 확인하며 변화량에 마이너스 부호를 붙였다.

그다음 두 직선의 식을 각각 정리하고, 교점의 x좌표를 식에 넣어 보았다. 첫 번째 식에서 얻은 y값과 두 번째 식에서 얻은 y값이 같아지는 순간이 바로 그래프가 만나는 순간이었다. 교점이 (x, y)라면 두 식에 같은 x를 넣었을 때 같은 y가 나온다는 사실을 말로 다시 적게 했다.

• 그래프에서 만나는 점의 가로좌표를 확인한다.
• 그 x값을 첫 번째 일차함수에 대입한다.
• 같은 x값을 두 번째 일차함수에도 대입한다.
• 두 결과가 같은 y값인지 비교한다.

학생은 처음에 적었던 식 중 절편이 맞지 않는 것을 찾아냈다. 그래프의 높이만 보고 정한 것이 아니라, 두 점의 x·y 변화량과 y축과 만나는 위치를 따로 확인하자 식과 그래프가 같은 관계를 가리키게 되었다. 원당지구중2수학과외가 아니라 정확한 키워드인 원당지구중2수학과외 상황에서 다루는 문제라고 해도, 핵심은 지역이 아니라 이 대응 관계를 끝까지 유지하는 데 있었다.

표와 문장으로 바꾸어도 같은 교점 찾기

다음 문제는 그래프를 보여 주지 않고 두 함수의 값을 표로 제시했다. 표에는 x의 값에 따라 함수 P와 함수 Q의 y값이 각각 적혀 있었고, 두 함수의 값이 같아지는 x를 찾으라는 조건이 붙었다. 학생은 이번에는 그래프를 상상해 모양부터 정하지 않았다.

표의 같은 x가 놓인 행을 세로로 읽으며 P의 값과 Q의 값을 비교했다. 한 행에서는 P가 7, Q가 5였고, 다음 행에서는 P가 9, Q가 9로 같았다. 학생은 그 행의 x를 교점의 x좌표로 적고, 공통 y값을 함께 묶었다. 이어 “두 표현이 만나는 지점은 두 함수의 출력값이 같은 입력값”이라고 설명했다.

문장 형태도 바꾸어 제시했다. 한 요금은 기본 금액에서 일정한 양만큼 증가하고, 다른 요금은 더 큰 기본 금액에서 다른 속도로 증가한다는 내용이었다. 학생은 요금의 변화량을 기울기, 시작 금액을 절편으로 대응시킨 뒤 두 금액이 같아지는 순간을 두 직선의 교점으로 해석했다. 숫자나 배열을 그대로 기억하지 않고, 식·표·문장이 모두 같은 x와 y의 대응을 말한다는 점을 사용했다.

힌트 없이 이루어진 최종 확인

마지막에는 새로운 그래프가 제시되었다. 두 직선은 한 점에서 만났지만 교점의 좌표가 눈금 사이에 있어 바로 읽기 어려웠다. 학생은 먼저 “교점에서는 두 함수의 y값이 같으므로 두 식을 같은 값으로 놓겠다”고 스스로 말했다. 그래프에서 확인한 두 점으로 각 직선의 기울기와 절편을 구한 뒤, 두 식의 y값이 같아지는 x를 계산했다.

계산한 x를 두 식에 각각 대입해 같은 y값이 나오는지 확인하고, 그 좌표가 실제 그래프의 두 직선 위에 놓이는지도 점검했다. 학생은 “한 식에만 대입해 맞으면 부족하고, 두 식에서 같은 y가 나와야 교점이라고 할 수 있다”고 설명했다. 처음처럼 선의 모양만 보고 식을 정하지 않고, 변화량과 좌표의 대응을 세운 뒤 두 식에 모두 대입하는 판단을 스스로 재현한 것이다.