연희지구 중3수학과외

연희지구 중3수학과외, 그림보다 먼저 확인한 한 가지

연희지구에서 중3 수학을 공부하는 학생과 원주각·중심각의 관계를 살펴보았습니다. 같은 호를 보는 중심각은 원주각의 두 배라는 관계를 그림의 표현이 달라져도 찾아내는 것이 목표였습니다.

나란히 놓인 두 풀이 기록

도서관 자습 시간에 다음 문제를 풀었습니다.

원 위에 A, B, C, P가 있고, O는 원의 중심이다. ∠AOB=128°일 때, 같은 호 AB를 보는 원주각 ∠ACB의 크기를 구하여라.

학생은 먼저 그림에서 중심 O를 확인한 뒤, 식을 다음처럼 적었습니다.

∠ACB = 128° ÷ 2 = 64°

이 계산은 맞았습니다. 이어서 표현을 바꾼 문제도 나란히 놓았습니다.

점 D가 원 위에 있고, ∠ADB가 37°이다. 중심 O에서 A와 B를 이은 두 반지름이 만드는 각 중 작은 각의 크기를 구하여라.

이번에는 학생이 그림에 표시된 ∠AOD를 보며 “37°의 두 배가 아니라, 그림에서 보이는 ∠AOD와 관련된 각을 찾아야 한다”고 말했습니다. 그러나 실제로 적은 식은 다음과 같았습니다.

∠AOD = 74°

점 D를 꼭짓점으로 하는 각은 ∠ADB인데, 학생은 D를 중심 O와 연결된 각의 한 점처럼 읽었습니다. 결과적으로 최종 답만 틀린 것이 아니라, 답을 계산하기 전에 두 각이 바라보는 대상을 확인하지 않은 상태였습니다.

각의 꼭짓점이 아니라 ‘보는 호’를 표시하기

오류가 시작된 지점은 원주각과 중심각의 모양이 다르다는 이유로 서로 다른 호를 바로 비교한 판단이었습니다. ∠ADB는 꼭짓점 D가 원 위에 있으므로 원주각이고, 그 양변이 만나는 점 A와 B 사이의 호 AB를 봅니다. 중심 O에서 같은 A, B로 뻗은 ∠AOB도 바로 그 호 AB를 봅니다.

따라서 교정은 한 행동으로 정리했습니다. 식을 쓰기 전에 두 각의 양변 끝점을 보고, 공통으로 가리키는 호에 같은 표시를 하는 것입니다.

학생은 문제 그림에서 호 AB에 작은 표시를 한 뒤 다시 적었습니다.

∠ADB와 ∠AOB는 모두 호 AB를 본다.
∠AOB = 2∠ADB
∠AOB = 2×37° = 74°

이미 알고 있던 “중심각을 원주각의 두 배로 계산한다”는 식은 그대로 두고, 그 식을 적용하기 전에 같은 호인지 확인하는 부분만 고쳤습니다. ∠AOD를 계산 대상으로 삼지 않은 이유도 분명해졌습니다. ∠AOD는 호 AD를 보기 때문입니다.

배열을 바꾼 그림에서 관계 옮기기

다음에는 점의 배치와 질문 방향을 바꾸었습니다. 이번 그림에서는 원 위의 네 점을 순서대로 M, R, N, S라 하고, 중심을 K로 표시했습니다. 문제는 다음과 같았습니다.

∠MSN=46°이고, K는 원의 중심이다. 호 MN을 보는 중심각 ∠MKN의 크기를 구하여라. 그림에서 S는 M과 N 사이의 아래쪽에 표시되어 있지 않다.

학생은 이번에는 그림의 위아래 위치를 기준으로 각을 고르지 않았습니다. 먼저 ∠MSN의 양변 끝점이 M과 N이라는 점을 적고, “이 각이 보는 호는 MN”이라고 표시했습니다. 이어서 중심 K의 각도 같은 끝점 M, N을 가진 ∠MKN을 선택했습니다.

∠MKN = 2×∠MSN = 2×46° = 92°

처음 문제와 점 이름도, 원주각이 놓인 위치도 달랐지만 공통으로 남은 것은 두 각이 같은 호 MN을 본다는 사실뿐이었습니다. 반대로 ∠MKS처럼 끝점이 M과 S인 각은 호 MS를 보므로 이 계산에 사용할 수 없다고 설명했습니다.

힌트 없이 확인한 마지막 문제

며칠 뒤에는 표시나 관계식을 미리 적어 주지 않고 다음 문제를 제시했습니다.

원 위의 점 X, Y, Z와 중심 O가 있다. 중심각 ∠XOY의 크기는 118°이다. 점 Z에서 호 XY를 바라보는 원주각의 크기를 구하고, 왜 그 각을 선택했는지 설명하여라.

학생은 그림을 잠시 본 뒤, 먼저 “구할 각의 꼭짓점은 원 위의 Z이고 양변의 끝점은 X, Y이므로 ∠XZY”라고 말했습니다. 이어 “∠XOY도 끝점이 X, Y이므로 두 각이 같은 호 XY를 본다”고 설명했습니다. 그래서

∠XZY = 118° ÷ 2 = 59°

라고 계산했습니다. 검산할 때는 반대로 원주각 59°의 두 배가 중심각 118°인지 확인했고, 호의 끝점이 두 식에서 모두 X와 Y인지 다시 읽었습니다. 표현이 바뀌어도 먼저 같은 호를 찾은 뒤 중심각과 원주각의 관계를 선택한 것입니다.

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