연희지구 중1수학과외

맞꼭지각을 그림과 문장 사이에서 정확히 읽는 연습

이 생활권의 중1수학과외 수업에서 학생과 함께 맞꼭지각 문제를 풀던 중, 그림의 모양을 그대로 따라 그리는 습관이 식을 잘못 세우는 원인이 된 장면이 있었다. 연희지구과외에서 다룬 핵심은 맞꼭지각의 크기가 같다는 사실을 그림, 문장, 식으로 서로 바꾸어 읽는 것이었다.

그림의 모양이 아니라 교차점과 표시부터 읽기

문제에는 두 직선 AB와 CD가 점 O에서 교차하고, 각 AOC의 크기가 68°라고 적혀 있었다. 물음은 각 BOD의 크기를 구하는 것이었다. 학생은 종이에 문제 그림을 다시 그린 뒤, 원래 그림에서 위쪽에 있던 각 AOC를 자신의 그림에서도 위쪽에 배치했다. 그리고 “반대쪽 각은 모양이 다르므로 180°에서 빼야 한다”고 적어 112°를 답으로 제시했다.

풀이가 어긋난 최초의 판단은 계산이 아니라 각의 위치를 그림의 방향으로만 판단한 것이었다. 맞꼭지각인지 확인하려면 각의 꼭짓점이 같은지, 두 각의 변이 서로 마주 보는 직선 위에 놓이는지를 먼저 살펴야 한다. 학생은 각 이름의 순서와 두 직선의 관계를 확인하기 전에 그림을 복사한 셈이었다.

각 AOC와 각 BOD는 모두 꼭짓점이 O이고, OA와 OB가 한 직선에서 서로 반대 방향이며 OC와 OD도 한 직선에서 서로 반대 방향이다. 따라서 두 각은 맞꼭지각이다.

이 문장을 학생이 직접 그림 옆에 적고, 두 각의 변을 색연필로 연결했다. 이제 “맞꼭지각의 크기는 같다”는 관계에 따라 ∠BOD=∠AOC=68°이라고 식을 세웠다. 이미 표시한 교차점 O와 직선 AB, CD는 그대로 두고, 잘못된 방향 판단만 바로잡은 것이다. 112°는 이웃한 각을 구할 때 사용하는 관계이므로 이번 질문에는 맞지 않는다는 점도 원래 조건과 대조했다.

표현이 바뀌어도 같은 관계를 찾아내기

다음 문제는 그림 대신 다음과 같은 문장으로 제시되었다.

두 직선 PQ와 RS가 점 T에서 만난다. ∠PTR의 크기가 47°일 때, ∠QTS의 크기를 구하여라.

학생은 먼저 문장에서 점 T를 찾아 동그라미로 표시하고, 두 직선을 각각 밑줄로 묶었다. 그다음 ∠PTR의 두 변이 TP와 TR이고, ∠QTS의 두 변이 TQ와 TS임을 표로 정리했다.

• TP와 TQ: 한 직선 위에서 서로 반대 방향
• TR과 TS: 한 직선 위에서 서로 반대 방향
• 두 각의 꼭짓점: 모두 T

이번에는 문제 그림을 먼저 떠올리지 않고 문장에 실제로 주어진 점 이름과 직선 관계만 사용했다. 따라서 ∠PTR과 ∠QTS가 맞꼭지각임을 확인하고, ∠QTS=47°이라고 썼다. 이어서 “두 변이 각각 반대 방향으로 바뀌었으므로 맞꼭지각이고, 맞꼭지각의 크기는 같다”고 풀이 이유를 한 문장으로 설명했다. 숫자만 바꾼 문제가 아니라, 그림에서 읽던 관계를 문장에서 찾아 식으로 바꾸는 적용이었다.

방향과 점 이름을 바꾼 독립 풀이

힌트를 가린 뒤에는 직선을 세로와 가로가 아닌 비스듬한 방향으로 그린 문제를 제시했다. 두 직선 MN과 XY가 점 K에서 교차하고, ∠MKX=83°일 때 ∠NKY의 크기를 묻는 문제였다. 학생은 이전 그림의 모양을 복사하지 않고 K를 먼저 표시했다. 이어 KM과 KN이 한 직선의 반대 방향, KX와 KY도 한 직선의 반대 방향인지 확인한 뒤 두 각을 서로 마주 보는 위치에 표시했다.

학생은 “∠MKX와 ∠NKY는 꼭짓점 K를 공유하고, 두 변이 각각 반대 방향으로 대응하므로 맞꼭지각이다. 그러므로 ∠NKY=83°이다”라고 스스로 적었다. 답을 원래 조건에 다시 넣어 두 각의 크기가 같다는 사실과 일치하는지도 확인했다. 각의 이름, 직선의 방향, 그림의 배치가 모두 달라졌지만 불필요하게 180°를 사용하지 않았다.

마지막으로 학교 프린트의 문제를 다시 펼쳤을 때 학생은 먼저 교차점과 두 직선을 표시하고, 각 이름의 첫째와 셋째 글자가 이루는 두 변을 비교했다. 계산 전에 관계를 정하고, 맞꼭지각이면 주어진 각의 크기를 그대로 옮긴 뒤 조건에 대입해 확인했다.