연희지구 고등수학과외
연희지구고등수학과외에서 통계 단원을 다룰 때 학생들이 자주 놓치는 부분은 분산과 표준편차의 계산식보다 그 값이 자료의 퍼짐을 어떻게 나타내는지 해석하는 과정이다. 연희지구와 당음마을에서 통학하는 학생이 인천아라고등학교와 서인천고등학교의 학교자료를 참고해 표본 통계를 연습하더라도, 숫자를 구한 뒤 의미를 설명하지 못하면 문제의 조건을 절반만 해결한 셈이 된다.
표본 21개에서 처음 생긴 어긋남
학생에게 평균이 10인 표본 21개의 자료를 제시했다. 첫 번째 자료는 10이 19번 나오고 9와 11이 한 번씩 포함된 자료였다. 학생은 평균을 10으로 계산한 뒤 편차 제곱의 합을 2로 구했다. 여기까지는 정확했다. 그런데 풀이 중간에 적힌 “표본 21개”라는 조건을 지나치고 2를 21로 나누어 분산을 2/21로 기록했다.
표준편차를 구하는 줄에서는 그 값을 제곱근으로 바꾸면서도 “값이 작으므로 자료가 거의 흩어지지 않았다”고만 썼다. 첫 오류는 제곱근 계산이 아니었다. 표본이라는 조건을 확인하지 않은 채 분모를 정한 순간이었다. 더구나 표준편차의 의미를 자료의 실제 퍼짐과 연결하지 않아, 평균에서 각 자료가 얼마나 떨어져 있는지도 설명하지 못했다.
밑줄 하나로 풀이의 기준을 세우다
교정할 때는 계산을 처음부터 다시 시키지 않고 문제의 첫 조건인 ‘표본 n=21’에 밑줄을 긋게 했다. 모집단 전체가 아니라 표본으로 분산을 추정할 때는 편차 제곱의 합을 n-1, 즉 20으로 나눈다는 점을 확인했다. 따라서 표본분산은 2/20=0.1이고 표본표준편차는 √0.1이다.
학생은 숫자만 고치는 대신 각 값을 평균 10과 비교해 보았다. 9와 11은 평균에서 1만큼 떨어져 있고 나머지 19개는 평균과 같다. 표준편차가 약 0.316이라는 결과는 자료 대부분이 평균 가까이에 모여 있다는 뜻으로 읽을 수 있다. “표준편차가 작다”에서 멈추지 않고 “평균에서 벗어난 값이 드물고 그 거리도 짧다”로 문장을 바꾸자 계산과 해석이 이어졌다.
분산은 편차를 제곱해 퍼짐을 수치화하고, 표준편차는 그 값을 원래 자료와 같은 단위로 되돌려 평균 주변의 흩어진 정도를 보여 준다.
조건을 바꾼 표본에서 혼자 적용하기
다음에는 항 번호나 앞선 풀이 메모를 보여 주지 않고, 평균이 10인 또 다른 표본 21개를 제시했다. 이번 자료는 10이 19번, 5와 15가 한 번씩 나왔다. 학생은 평균이 같다는 사실만 보고 두 자료의 분산도 같을 것이라고 말하려 했다.
곧바로 각 자료의 편차를 적게 하자 5와 15는 평균에서 각각 5만큼 떨어져 있음을 확인했다. 편차 제곱의 합은 50이고, 표본분산은 50/20=2.5, 표본표준편차는 √2.5로 계산된다. 첫 자료보다 표준편차가 훨씬 크므로 평균은 같아도 두 번째 자료의 퍼짐이 더 크다고 독립적으로 설명했다. 조건이 ‘표본 21개’에서 바뀌지 않았는지, 평균에서 먼 값이 제곱 과정에서 더 크게 반영되는지도 스스로 점검했다.
마지막에는 원자료로 되돌려 확인한다
검산은 같은 공식을 한 번 더 쓰는 방식으로 끝내지 않았다. 두 번째 자료의 표본분산 2.5에 20을 곱하면 편차 제곱의 합 50이 돌아오는지 확인했다. 이어 표준편차 √2.5를 제곱해 다시 2.5가 되는지도 살폈다. 첫 자료와 두 번째 자료의 평균은 모두 10이지만 표준편차가 다르다는 비교가 성립하므로, 표준편차가 평균의 위치가 아니라 평균 주변의 퍼짐을 나타낸다는 결론도 유지된다.
자주 묻는 질문
- 표본 21개면 왜 21이 아니라 20으로 나누나요?
표본으로 모집단의 퍼짐을 추정할 때 사용하는 표본분산의 분모가 n-1이기 때문이다. - 평균이 같으면 표준편차도 같은가요?
아니다. 평균이 같아도 자료가 평균에서 떨어진 정도가 다르면 표준편차는 달라진다. - 분산과 표준편차의 차이는 무엇인가요?
분산은 편차 제곱의 평균이고, 표준편차는 분산의 제곱근이라 원자료와 같은 단위로 해석한다. - 표준편차가 작다는 말만 써도 되나요?
평균에서 자료가 얼마나 가까이 모였는지까지 함께 설명해야 풀이의 의미가 분명해진다.