마전동 중등수학과외

마전동중등수학과외, 96·144의 묶음 수와 신호 재겹침 시간을 식으로 확인하기

96개와 144개를 남김없이 같은 구성으로 나누되 가능한 한 많은 묶음을 만드는 문제에서는 ‘몇 묶음인가’를 구해야 합니다. 반면 두 신호가 각각 96초, 144초마다 반복될 때 처음 다시 겹치는 시각을 묻는 문제에서는 ‘두 반복이 함께 나타나는 시간’을 구해야 합니다. 수가 같아도 질문의 대상이 달라지므로, 마전동중등수학과외에서는 답만 기억하기보다 문제의 말과 식·그림의 표시가 같은 뜻인지부터 확인하는 것이 중요합니다. 기본 문제를 설명할 수 있어도 새 조건에서 잠시 멈출 수 있으므로, 이를 곧바로 개념 부족으로 단정하기보다 어떤 관계를 선택했는지 살펴봅니다.

같은 구성의 묶음은 두 수를 나누는 수에서 찾습니다

기본 문제의 조건은 96개와 144개를 각각 남김없이 나누면서 묶음 수를 최대로 만드는 것입니다. 묶음 수는 96과 144를 모두 나누어떨어지게 해야 하므로 공약수여야 합니다. 96=2⁵×3, 144=2⁴×3²이므로 공통 소인수는 2와 3입니다. 각 소인수의 지수를 두 수에서 더 작은 값으로 선택해 곱하면 최대공약수는 2⁴×3=48입니다. 따라서 최대 묶음 수는 48묶음입니다. 이때 한 묶음에 들어가는 수는 96÷48=2개, 144÷48=3개가 됩니다. ‘48’만 적고 끝내지 않고, 48묶음마다 각각 2개와 3개라고 적어야 묶음 수와 묶음 안의 개수가 섞이지 않습니다. 검산도 48×2=96, 48×3=144로 원래 물건 수가 정확히 복원되는지 확인합니다. 만약 2와 3을 묶음 수처럼 표시했다면, 무엇을 나눈 결과인지 화살표나 나눗셈 식을 덧붙여 뜻을 바로잡습니다.

반복 주기는 나누는 수가 아니라 함께 되는 배수를 찾습니다

비교 문제에서는 물건을 여러 묶음으로 나누지 않습니다. 두 신호가 동시에 시작한 뒤 다시 함께 울리는 시각은 96의 배수이면서 동시에 144의 배수여야 합니다. 즉 두 주기의 공배수 중 가장 작은 수를 찾아야 합니다. 96의 배수는 96초, 192초, 288초, …이고 144의 배수는 144초, 288초, …이므로 처음 공통으로 나타나는 시각은 288초입니다. 소인수분해로도 96=2⁵×3, 144=2⁴×3²이므로 각 소인수에 대해 두 수에서 더 큰 지수를 선택해 얻은 2⁵×3²=288임을 확인할 수 있습니다. 288÷96=3, 288÷144=2이므로 288초는 첫 신호가 세 번의 주기를 마치고 둘째 신호가 두 번의 주기를 마친 때입니다. 시간의 단위도 답에 함께 적어 ‘288’이 묶음 수가 아니라 288초라는 점을 분명히 합니다.

바뀐 말을 표시한 뒤 첫 식을 스스로 고르는지 확인합니다

두 문제를 나란히 놓고 기본 문제에는 ‘남김없이’, ‘최대한 많은 묶음’, ‘묶음마다’를 표시하고, 비교 문제에는 ‘96초마다’, ‘144초마다’, ‘처음 다시 겹치는 때’를 표시해 봅니다. 앞문제에서는 두 수로 나누어떨어지는 가장 큰 묶음 수를 찾았고, 뒷문제에서는 두 주기의 배수 중 가장 이른 공통 시각을 찾았다는 차이가 드러납니다. 비교 문제를 풀기 전에는 정답이나 배수 목록을 먼저 제시하지 않고, 학생이 공약수와 공배수 중 어느 관계를 선택하는지 확인합니다. 막혔을 때만 “신호가 다시 겹치는 시각은 두 주기의 배수인가요?”라고 짧게 묻고, 이후에는 96의 배수와 144의 배수를 직접 적게 합니다.

다음 확인에서는 “두 문제에서 달라진 조건은 무엇인가요?”라는 질문에 묶음 수와 반복 주기의 차이를 말로 설명하고, 그 설명에 맞는 식을 쓸 수 있는지 봅니다. 비교 문제에서 96, 192, 288과 144, 288을 적어 288초를 선택하거나, 288을 각각의 주기로 나누어 3과 2가 나오는지 확인한다면 선택한 관계를 검토할 근거가 생깁니다. 반대로 기본 문제의 48을 그대로 쓰거나 96÷144처럼 한 수를 다른 수로 나누려 한다면, 처음부터 많은 문제를 반복하기보다 ‘무엇을 구하는가’와 ‘두 수가 어떤 관계를 가져야 하는가’를 다시 표시하며 다음 단계를 정합니다.