마전동 중3수학과외
마전동 중3수학과외에서 확인한 30° 삼각비 선택의 기준
마전동과외 수업에서 단원평가 직전 한 학생이 유형 이름을 보지 않고 삼각비 문제를 풀어 보았습니다. 마전중학교와 검단중학교가 포함된 생활권, 가좌마을1.2단지와 가좌마을5.6단지 인근에서도 자주 접할 수 있는 직각삼각형 문제였지만, 이번에는 공식을 많이 외우는 것보다 30°를 기준으로 어떤 두 변의 비를 선택하는지만 확인했습니다.
첫 줄에서 드러난 선택의 흔들림
문제에는 직각삼각형 ABC가 제시되어 있었습니다. ∠C=90°, ∠A=30°, BC=6cm이고 AB의 길이를 구하는 문제였습니다. 학생은 그림을 보자마자 다음처럼 적었습니다.
“30°가 있으므로 sin30°=1/2. 따라서 AB=6×1/2=3.”
sin30°=1/2라는 값 자체는 맞았습니다. 그러나 식을 세우기 전에 기준각과 변의 역할을 확인하지 않았습니다. ∠A를 기준으로 보면 BC는 마주 보는 변이고 AB는 직각 맞은편이 아닌 빗변입니다. 따라서
sin30°=BC/AB=6/AB
로 써야 합니다. 학생은 예제에서 자주 보던 순서처럼 주어진 변에 1/2를 곱해 버렸고, 그 결과 AB=3이라는 값이 나왔습니다. 직각삼각형에서 빗변 AB가 한 변 BC보다 짧아지는 것도 이상하지만, 더 앞선 문제는 계산이 아니라 기준각을 표시하지 않은 판단이었습니다.
계산을 지우기보다 기준각부터 다시 표시하기
교정에서는 삼각비 종류를 모두 다시 외우게 하지 않고, 문제에 표시된 ∠A=30° 주변에 작은 표시를 하도록 했습니다. 그다음 기준각에서 변의 위치를 말로 확인했습니다.
- ∠A를 기준으로 마주 보는 변: BC=6cm
- 직각의 맞은편에 있는 빗변: AB
- 주어진 변과 구할 변이 ‘마주 보는 변/빗변’ 관계이므로 사용할 비: sin
이에 따라 학생은
sin30°=6/AB
를 세우고, 1/2=6/AB에서 AB=12cm를 얻었습니다. 이번 교정에서 바꾼 행동은 하나였습니다. 삼각비를 고르기 전에 기준각을 표시하고, 그 기준에서 두 변의 역할을 다시 확인한 것입니다. 이미 알고 있던 sin30°=1/2와 뒤의 계산은 그대로 활용했습니다.
그림의 방향을 바꾸어도 같은 기준을 쓰는 연습
며칠 뒤에는 모양이 다른 문제를 제시했습니다. 직각삼각형 PQR에서 ∠Q=90°, ∠R=30°, PR=14cm이고 PQ의 길이를 구하는 상황이었습니다. 이번에는 30°가 오른쪽 아래에 표시되어 있고, 미지수는 왼쪽 세로 변에 놓여 있었습니다.
학생은 먼저 ∠R을 동그라미로 표시했습니다. ∠R에서 PQ는 마주 보는 변이고 PR은 빗변이므로
sin30°=PQ/14
라고 적었습니다. 따라서 1/2=PQ/14이므로 PQ=7cm입니다. 첫 문제와 숫자만 바꾼 것이 아니라, 기준각의 위치와 미지변의 방향을 바꾸어도 같은 방식으로 변을 선택하는지 확인한 것입니다. 이 과정에서 cos나 tan을 새로 비교하지 않고, 30°에서 필요한 두 변의 관계만 판단했습니다.
힌트 없이 다시 세운 마지막 식
마전동중3수학과외 학습 점검에서는 다음 문제를 별도의 표시나 말 도움 없이 풀게 했습니다.
직각삼각형 XYZ에서 ∠Y=90°, ∠X=30°, XZ=18cm이다. 변 YZ의 길이를 구하고, 사용한 삼각비가 왜 맞는지 설명하시오.
학생은 먼저 ∠X에 표시한 뒤 “YZ는 30°에서 마주 보는 변이고 XZ는 빗변이므로, 구하는 길이와 주어진 길이의 관계는 sin”이라고 설명했습니다. 이어서
sin30°=YZ/XZ
1/2=YZ/18
YZ=9cm
라고 풀이했습니다. 마지막에는 구한 9를 원래 식에 대입하여 9/18=1/2가 되고, 30°의 사인값과 일치한다고 검산했습니다. 단순히 답을 맞힌 것이 아니라, 새로운 그림에서도 기준각을 먼저 정하고 그 기준에 따른 변의 역할을 스스로 설명한 장면이었습니다. 이처럼 30° 삼각비 확인은 공식의 순서를 기억하는 일이 아니라, 기준각을 기준으로 필요한 두 변을 선택하는 과정으로 재현되어야 합니다.