마전동 중1수학과외
두 양의 관계를 끝까지 확인한 반비례 풀이
마전동과외 수업에서 중1 학생과 반비례 관계를 다룬 날, 학생은 “같은 일을 하는 사람이 많아지면 걸리는 시간이 줄어든다”는 문장을 보고도 두 양이 어떻게 연결되는지 바로 식으로 옮기지 못했다. 가좌마을1.2단지와 가좌마을5.6단지가 있는 생활권, 마전중학교와 검단중학교가 포함된 주변에서도 자주 접할 수 있는 시간과 작업량의 문제였다.
문장 속 두 양을 먼저 구분하다
문제는 다음과 같았다.
한 사람이 어떤 일을 끝내는 데 12시간이 걸린다. 같은 속도로 일하는 사람이 3명이 함께하면 몇 시간이 걸리는가?
학생은 종이에 “1명 → 12시간, 3명 → ?시간”이라고 적은 뒤 12×3=36이라고 계산했다. 곱셈을 먼저 떠올린 것이 첫 번째 어긋남이었다. 사람 수가 늘면 시간은 줄어들어야 하는데, 계산 결과는 오히려 시간이 늘어난다는 점을 아직 확인하지 않은 상태였다.
풀이를 지우지 않고, 두 양의 변화를 말로 다시 읽게 했다. 사람 수와 시간은 한쪽이 커질 때 다른 쪽이 작아지는 관계이므로 반비례를 의심할 수 있다. 이때 단순히 “줄어든다”에서 멈추지 않고, 사람 수와 시간의 곱이 같은지 살펴야 한다. 한 사람이 12시간 걸리므로 전체 일의 양을 나타내는 값은 1×12=12이다. 3명이면 3×시간=12가 되어야 한다.
양변을 3으로 나누어 시간=4를 얻었다. 학생은 “사람 수와 시간의 곱이 12로 일정하므로 3명이 일하면 4시간”이라고 문장으로 설명했다. 이어 3×4=12를 계산해 처음 조건과 맞는지도 확인했다.
표와 식을 오가며 관계를 다시 세우기
다음에는 설명이 적힌 예시를 덮고 표를 제시했다.
| 사람 수 | 1 | 2 | 4 | 6 |
|---|---|---|---|---|
| 걸리는 시간 | 24 | 12 | 6 | 4 |
학생은 각 열의 두 수를 곱해 24, 24, 24, 24를 적었다. 이어 “사람 수가 2배가 되면 시간은 절반, 사람 수가 3배가 되면 시간은 3분의 1”이라고 표의 변화를 문장으로 바꾸었다. 그래프를 그릴 때는 가로축에 사람 수, 세로축에 시간을 표시하고, (1,24), (2,12), (4,6), (6,4)를 순서대로 찍었다. 점을 직선으로 이으려 하지 않고, 각 점이 사람 수와 시간의 대응값이라는 점을 확인했다.
이 과정에서 학생은 표를 보고 곧바로 비슷한 숫자를 찾는 대신, 어떤 두 수를 곱해야 일정한지 식으로 옮겼다. “사람 수를 x, 시간을 y라 하면 x×y=24”라고 쓴 뒤 표의 각 열을 대입했다. 4×6=24, 6×4=24가 성립하므로 표와 식이 같은 관계를 나타낸다는 이유도 덧붙였다.
조건을 바꾸어도 같은 판단을 세우는 연습
보기 없이 새로운 상황을 제시했다.
6대의 프린터가 10분 동안 같은 양의 자료를 출력한다. 프린터 4대만 사용한다면 같은 양을 출력하는 데 몇 분이 필요한가?
학생은 먼저 “프린터 수와 시간의 곱은 6×10=60”이라고 적었다. 이어 4×시간=60을 세우고, 시간을 15분으로 구했다. 이번에는 숫자를 계산하기 전에 두 양을 “프린터 수”와 “출력 시간”으로 정확히 정했으며, 프린터 수가 줄었으니 시간이 늘어야 한다는 방향도 확인했다.
마지막으로 조건을 거꾸로 제시했다. “같은 작업을 20분 안에 끝내려면 프린터가 몇 대 필요한가?”라는 질문에 학생은 20×프린터 수=60으로 식을 세워 3대를 구했다. 표에서 3대와 20분의 곱이 60인지 확인하고, 6대보다 적은 수를 사용하므로 10분보다 오래 걸리는 결과가 자연스럽다고 설명했다.
힌트 없이 남긴 최종 검증
수업 끝에는 다음 문제를 아무 표시 없이 풀게 했다.
같은 속도로 일하는 5명이 작업을 끝내는 데 8시간이 걸린다. 10명이 작업하면 몇 시간이 걸리며, 두 양의 관계를 식으로 나타내어라.
학생은 먼저 5×8=40을 계산하고, 사람 수를 x, 시간을 y로 두어 x×y=40이라고 썼다. 10명이면 10y=40, 따라서 y=4라고 풀이했다. “사람 수가 2배가 되었으므로 시간은 절반이 되고, 10×4=40이므로 전체 작업량이 처음과 같다”고 스스로 설명했다.
이제 학생은 문장의 순서가 바뀌거나 표·식·그래프 중 어느 형태로 출발해도 두 양의 곱이 일정한지 먼저 판단한다. 마전동중1수학과외에서 확인한 핵심도 답만 구하는 것이 아니라, 새 조건을 읽고 첫 식을 세운 근거와 원래 관계에 다시 대입한 검산까지 말하는 데 있다.