덕명동 중등수학과외

덕명동중등수학과외, -9x<18에서 부등호 방향과 -2의 포함 여부 확인하기

-9x<18을 풀어 x>-2라는 답을 맞혔더라도, 중등 일차부등식에서는 계산 결과만 적고 끝내기보다 왜 부등호가 바뀌는지와 경계값이 포함되는지를 함께 확인해야 합니다. 덕명동중등수학과외 수업에서는 이 문제를 오답으로 바꾸어 다루지 않습니다. 주어진 식의 양변을 -9로 나누는 순간, 음수로 나누면 대소 관계의 방향이 반대로 바뀐다는 조건이 풀이에 드러나는지 살펴봅니다. 특히 -2가 해인지 아닌지는 부등호의 모양과 원래 식에 대입한 결과로 판단해야 하며, 계산 과정에 없는 조건을 덧붙여 결론을 정하지 않도록 합니다.

음수 -9로 나누는 순간 부등호를 뒤집는 이유

기본 문제는 -9x<18입니다. x만 남기기 위해 양변을 -9로 나누면 왼쪽은 x, 오른쪽은 18÷(-9)=-2가 됩니다. 이때 -9는 음수이므로 부등호의 방향을 바꾸어 x>-2가 됩니다. 즉, “-9를 없앴으니 -2가 나왔다”만으로는 근거가 충분하지 않고, -9로 나누었기 때문에 <가 >로 바뀌었다고 연결해야 합니다. 수직선에서는 -2보다 오른쪽 부분에 해를 표시하고, -2에는 빈 동그라미를 놓습니다. 빈 동그라미는 -2 자체를 포함하지 않는다는 뜻입니다. 음수로 나누는 단계 옆에 ‘-9로 나눔 → 부등호 반대’라고 함께 적으면 계산 순서와 성질을 따로 외우지 않고 연결해 볼 수 있습니다.

답을 가린 뒤에도 풀이를 복원할 때는 “양변을 음수로 나누면 대소 관계가 어떻게 달라질까?”라는 짧은 질문으로 충분합니다. 말로 길게 설명하기 어렵다면 수직선의 왼쪽·오른쪽 방향을 뒤집어 표시하거나, 부등호 위에 반대 방향 화살표를 그려도 됩니다. 다만 표현 방식과 관계없이 -9가 음수라는 사실, 그래서 부등호가 바뀐다는 사실이 식에 남아 있어야 합니다.

-2를 직접 대입해 경계가 열린 이유 확인하기

x>-2에서 경계값 -2가 포함되지 않는 이유는 ‘> 기호이기 때문’이라고만 말하기보다 원래 부등식으로 확인할 수 있습니다. x=-2를 -9x<18에 대입하면 -9×(-2)=18이므로 18<18이 됩니다. 같은 수끼리의 엄격한 부등식은 성립하지 않으므로 -2는 해가 아닙니다. 반대로 -2보다 큰 값인 -1을 대입하면 -9×(-1)=9이고 9<18이 성립합니다. 따라서 해가 -2의 오른쪽에 있다는 수직선 표시와 x>-2라는 식이 같은 내용을 말한다는 점도 확인됩니다.

여기서 중요한 것은 맞힌 답을 다시 말하는 일이 아니라, 경계값과 경계 바깥의 값을 구분하는 행동입니다. 예를 들어 해 범위표에 x=-2, x=-1을 적고 각각의 대입 결과를 나란히 쓰면, 왜 빈 동그라미가 필요한지 눈으로 확인할 수 있습니다. 학생이 설명을 짧게 하더라도 ‘-2를 넣으면 18<18이라 거짓’처럼 원식과 연결한다면 필요한 근거를 제시한 것입니다.

부등호가 ≤로 바뀐 비교 문제에서 포함 여부 구분하기

비교 문제는 -9x≤18입니다. 계수 -9와 오른쪽 수 18은 같으므로 양변을 -9로 나누는 방법도 같습니다. 그러나 음수로 나눌 때 부등호를 뒤집어 x≥-2가 됩니다. 기본 문제와 달라진 조건은 <가 ≤로 바뀐 한 부분이며, 이 차이가 -2의 포함 여부를 바꿉니다. x=-2를 대입하면 18≤18은 성립하므로, 이번에는 -2가 해에 포함됩니다. 수직선에서는 -2에 채운 동그라미를 찍고 오른쪽으로 표시합니다. -1을 대입했을 때 9≤18이 성립하는 것도 해의 방향이 오른쪽임을 뒷받침합니다.

다음 확인에서는 먼저 -9x≤18을 도움 없이 풀어 식과 수직선에 각각 나타내게 합니다. 이후에만 -2를 대입한 결과가 18≤18인지, 그래서 채운 동그라미가 맞는지 확인합니다. 기본 문제에서 x>-2, 비교 문제에서 x≥-2를 구분해 쓰고, 음수로 나눌 때 방향을 바꾼 이유와 경계값의 대입 결과를 모두 연결할 수 있는지가 다음 학습으로 넘어가기 위한 기준입니다.