덕명동 중2수학과외
오답을 뒤에서 읽어 찾은 분수가 있는 일차부등식의 첫 오류
덕명동 생활권에는 유성숲 오투그란데 3차와 관평도서관 인근 생활권처럼 학교와 주거지가 함께 있는 공간이 있다. 대전덕명중학교가 포함된 생활권의 학생과 진행한 수업에서, 채점한 일차부등식 풀이를 거꾸로 살펴보며 분모를 없애는 순간의 판단을 확인했다. 덕명동과외 수업에서 중요한 것은 계산량보다 부등호와 등호의 상태를 끝까지 보존하는 일이었다.
답이 나온 줄에서 한 줄씩 거슬러 올라가기
문제는 다음과 같았다.
(x-1)/(-3) ≤ 2
학생은 먼저 양변에 -3을 곱하는 줄을 적었다.
x-1 > -6
x > -5
그 뒤 수직선에 -5를 빈 점으로 표시하고 오른쪽을 색칠했다. 계산 결과만 보면 음수를 곱했으므로 부등호 방향을 바꾼 것처럼 보였지만, 풀이를 끝에서부터 읽자 이상한 지점이 먼저 보였다. 원래 부등호가 ≤였는데, 학생은 결과를 >로 바꾸면서 경계값을 제외했다.
학생은 처음부터 답을 틀리게 쓴 것이 아니라, 양변에 음수 -3을 곱한 바로 그 줄에서 ≤를 ≥로 바꾸는 동시에 경계 포함 기호를 >로 바꾼 것이 최초의 잘못된 판단이었다. 그 뒤 x를 정리하고 수직선에 표시한 과정은 이미 그 판단을 따라간 것이므로, 전체 풀이를 다시 베끼게 하지 않고 첫 분기점만 확인했다.
양변에 한 연산을 나란히 기록하기
학생은 원래 식의 양쪽에 같은 연산을 적용한 모습을 두 칸으로 나누어 적었다.
- 왼쪽: (x-1)/(-3)에 -3을 곱하면 x-1
- 오른쪽: 2에 -3을 곱하면 -6
- 음수를 곱했으므로 부등호 방향은 반대가 된다.
- ≤의 경계 포함 성질은 그대로 남아 ≥가 된다.
(x-1)/(-3) ≤ 2
양변에 -3을 곱함
x-1 ≥ -6
x ≥ -5
이때 학생은 -5를 대입해 확인했다.
(-5-1)/(-3)=2
왼쪽과 오른쪽이 같으므로 x=-5는 반드시 해에 포함되어야 한다. 따라서 수직선에서는 -5에 찬 점을 찍고 오른쪽을 표시했다. 이미 맞게 적었던 분모를 없애는 과정과 이항 과정은 유지하고, 경계 기호만 바로잡았다.
식이 가려진 변형 문제에서 시작점을 다시 찾다
다음에는 중간 풀이를 가린 채, 문장과 표만 제시했다.
어떤 수 x에서 4를 뺀 값을 -2로 나눈 수가 3보다 크거나 같다.
학생은 먼저 이를 식으로 바꾸었다.
(x-4)/(-2) ≥ 3
이번에는 숫자 계산을 서두르지 않고, 부등호 옆에 ‘경계 포함’이라고 표시했다. 이어 양변에 -2를 곱하면 음수이므로 방향이 바뀌지만, 포함 여부는 유지된다고 설명했다.
x-4 ≤ -6
x ≤ -2
학생은 답을 수직선의 왼쪽에 나타내면서 -2에 찬 점을 찍었다. 이어 -2를 원래 식에 넣어 양변이 3으로 같아지는지 확인했다. 단순히 숫자만 바꾼 문제가 아니라, 문장을 식으로 번역하고 부등호 방향을 반대로 읽어야 하는 형태에서 같은 판단을 적용한 것이다.
힌트 없이 새 부등식을 검산한 장면
마지막 문제는 다음과 같았다.
(2x+1)/(-4) ≤ -1
학생은 별도의 질문 없이 먼저 “분모가 음수이므로 -4를 곱할 때 부등호가 뒤집힌다. ≤의 경계는 포함되므로 ≥로만 바뀐다”고 말했다.
2x+1 ≥ 4
2x ≥ 3
x ≥ 3/2
그는 경계값 3/2을 원래 식에 대입해 왼쪽이 -1이 되는지 계산하고, 등호가 성립하므로 경계값을 포함해야 한다고 설명했다. 또 2를 대입하면 왼쪽 값이 -5/4로 -1보다 작으므로 해에 포함되지 않는다고 확인했다. 마지막으로 수직선에 3/2의 찬 점과 오른쪽 방향을 스스로 표시했다.
덕명동중2수학과외 수업에서 확인한 변화는 답을 외운 모습이 아니었다. 학생은 분모를 없애는 순간 음수 여부를 먼저 살피고, 부등호 방향과 경계 포함 여부를 따로 보존한 뒤 원래 식에 경계값을 대입해 설명했다.