덕명동 중등과외

반례를 가린 상태에서도 비례 관계를 설명할 수 있는지가 대전덕명중학교 중등과외에서 중요한 확인 지점이 된다. 비례 단원에서는 두 수가 함께 커지는지만 보고 판단하면 안 된다. 표의 값이나 식을 살펴 한쪽의 변화가 일정한 배수로 다른 쪽에 이어지는지 먼저 확인해야 한다.

증가한다는 사실만으로는 부족한 이유

수업 중 문제를 읽은 뒤 두 양이 모두 커지는 표를 보고 곧바로 “비례한다”고 답하는 경우가 있다. 예를 들어 한 양이 1, 2, 3, 4로 늘고 다른 양이 3, 5, 7, 9로 늘면 방향은 같지만 비례 관계는 아니다. 두 번째 양을 첫 번째 양으로 나누었을 때 값이 계속 달라지기 때문이다.

반대로 한 양이 2, 4, 6, 8이고 다른 양이 5, 10, 15, 20이라면 각각의 비가 5/2로 같다. 이때는 단순히 숫자가 함께 증가해서가 아니라, 한 양을 같은 배수로 바꿀 때 다른 양도 같은 배수로 변한다는 근거를 제시해야 한다.

표에서 먼저 확인할 기준

표를 보자마자 전체 계산을 시작하기보다 두 양의 대응값을 한 쌍씩 묶어 본다. 첫 번째 양을 기준으로 두 번째 양을 나누거나, 한 행에서 다음 행으로 넘어갈 때 변화 배수를 비교한다. 어느 방법을 선택하든 모든 대응값에서 같은 기준이 유지되어야 한다.

• 대응하는 두 값을 정확히 짝짓는다.
• 한쪽을 일정한 배수로 바꿨을 때 다른 쪽도 같은 배수인지 본다.
• 나눗셈 결과가 일정한지 확인한다.
• 한두 행의 모양만 보고 전체 관계를 단정하지 않는다.

식으로 제시되었다면 y=ax 꼴인지 살펴볼 수 있다. 여기서 a가 일정한 값이면 y와 x는 비례한다. y=x+3처럼 일정한 수를 더하는 식은 x가 커질수록 y도 커지지만 비례식은 아니다. 학생이 ‘같이 증가’와 ‘같은 비율’을 구분하도록 표현을 바꾸어 말해 보는 과정이 필요하다.

반례 하나로 판단 범위 좁히기

비례라고 생각한 표에서 대응값 한 쌍만 골라 비율이 달라지는 예를 만들 수 있는지 살핀다. 예를 들어 x가 2, 4, 6이고 y가 6, 12, 19라면 앞의 두 쌍은 3배 관계처럼 보이지만 마지막 쌍은 19÷6이므로 같은 비율이 아니다. 이 한 쌍이 전체 판단을 멈추게 하는 반례가 된다.

다만 반례를 찾는다는 말을 모든 경우의 수를 무작정 계산한다는 뜻으로 받아들이면 안 된다. 이미 확인한 일정한 배수에서 벗어나는 대응값을 한 쌍만 찾아도 비례라고 단정할 수 없다는 점에 초점을 둔다. 이후 다른 여러 쌍을 확인해 같은 비율이 유지되는 경우와 비교한다.

“두 양이 함께 증가하는가?”에서 멈추지 말고, “한쪽을 몇 배 했을 때 다른 쪽도 같은 몇 배가 되는가?”를 묻는다.

30초 자기설명으로 근거를 고정하기

계산을 마친 뒤에는 답만 쓰지 않고 30초 동안 판단 근거를 말해 본다. “두 양이 모두 증가하지만 비율이 일정하지 않으므로 비례가 아니다” 또는 “대응값을 나눈 결과가 모두 같고, 한쪽의 배수가 다른 쪽에도 그대로 적용되므로 비례한다”처럼 설명한다.

자기설명 중 ‘같이 커져서’라는 표현만 반복된다면 아직 기준이 바뀐 것이 아니다. 이때는 표의 두 쌍을 직접 가리키며 어떤 수를 몇 배 했는지 말하게 한다. 설명 시간이 길어지는 것보다 비율의 일정성과 대응 관계를 빠뜨리지 않는 것이 우선이다.

표현이 달라져도 적용하는 확인

마지막에는 표 대신 문장이나 식으로 제시된 문제를 선택한다. 예를 들어 자전거의 이동 시간이 1시간, 2시간, 3시간일 때 거리가 12km, 24km, 36km라면 같은 비율인지 확인한다. 반대로 기본요금 3,000원에 이용 시간마다 1,000원이 추가되는 요금은 시간이 늘수록 금액도 늘지만 y=1000x+3000의 형태이므로 비례가 아니다.

수치와 표현을 바꾸어도 먼저 대응 관계를 찾고, 일정한 배수인지 확인한 뒤 30초 자기설명으로 결론을 말한다. 새로운 문제에서 반례를 바로 만들지 못하더라도, 한 쌍의 비율과 다른 쌍의 비율을 비교하면 판단 근거를 독립적으로 세울 수 있다.

자주 묻는 질문

비율은 모든 대응값을 반드시 계산해야 하나요?

간단한 표라면 여러 쌍을 비교하는 것이 안전하다. 한 쌍만 같다고 전체가 비례한다고 결론 내릴 수는 없다.

식에서 비례 여부를 빠르게 보는 방법은 무엇인가요?

변수 사이에 일정한 곱셈 관계만 있는지 본다. 일정한 수를 더하거나 빼는 항이 있으면 비례식이 아니다.

그래프가 나오면 무엇을 확인하나요?

두 변수가 비례하면 원점을 지나가는 직선으로 나타난다. 다만 그래프의 모양만 보지 말고 대응값의 비율도 함께 확인한다.

반례는 꼭 직접 숫자를 만들어야 하나요?

주어진 표에서 비율이 다른 대응값을 하나 찾는 것도 반례가 된다. 새로운 숫자를 만드는 것보다 판단을 무너뜨리는 한 쌍을 정확히 찾는 일이 핵심이다.

설명할 때 가장 피해야 할 말은 무엇인가요?

“둘 다 커지기 때문에 비례한다”라는 말이다. 증가 방향이 아니라 일정한 비율과 같은 배수 여부를 근거로 말해야 한다.