덕명동 중3수학과외

덕명동 생활권에서 살펴본 넓이식의 인수분해

덕명동과외 수업에서 학교 프린트를 다시 펼쳤다. 유성숲 오투그란데 3차와 관평도서관 인근 생활권처럼 익숙한 장소를 배경으로 한 문제는 아니었지만, 대전덕명중학교가 포함된 생활권에서 자주 접할 수 있는 중3 수준의 도형 넓이 문제였다. 이번 초점은 도형의 넓이를 계산하는 데 있지 않고, 넓이 관계로 만들어진 식을 정확한 인수분해 형태로 바꾸는 데 두었다.

완성된 풀이에서 거꾸로 찾은 첫 갈림길

문제에는 가로가 x+3, 세로가 x+5인 직사각형이 있고, 넓이가 48이라고 제시되어 있었다. 학생은 두 변의 곱을 먼저 적었다.

(x+3)(x+5)=48
x²+8x+15=48
x²+8x-33=0

그다음 학교 프린트의 뒤쪽 완성 풀이를 참고해 인수분해 부분을 확인했다. 학생의 기록에는 다음과 같이 남아 있었다.

x²+8x-33=(x+11)(x-3)

그러나 이 전개는 x²+8x-33이 되지 않는다. (x+11)(x-3)을 전개하면 x²+8x-33이 맞으므로 이 줄 자체는 맞아 보였다. 문제는 그 앞에서 인수를 고른 기준이었다. 학생은 “두 수의 곱이 -33”이라는 조건만 보고 11과 -3을 선택했지만, 인수분해에서는 곱뿐 아니라 두 수의 합이 가운데항의 계수 8이어야 한다. 이 경우에는 두 조건이 모두 맞으므로 계산 결과는 우연히 이어졌지만, 학생은 실제로는 곱 조건 하나만 맞는 후보를 정답으로 고르려는 판단을 하고 있었다.

그 판단이 드러난 것은 같은 풀이 아래에 적힌 후보 때문이다.

(x+1)(x-33) 또는 (x+11)(x-3)

학생은 두 후보를 모두 곱이 -33이라는 이유로 놓고, 어느 것이 맞는지 전개로 확인하지 않은 채 뒤의 인수를 골랐다. 정답 숫자보다 먼저 어긋난 지점은 바로 이 선택 기준이었다. 이후의 식 정리는 그 잘못된 기준 위에 놓일 수 있으므로, 최종 계산이 맞았는지만 확인해서는 충분하지 않았다.

넓이식에서 필요한 조건을 나누어 적기

전체 풀이를 다시 베끼게 하지 않고, 인수를 선택하는 한 행동만 고쳤다. 식 옆에 다음 두 줄을 따로 쓰게 했다.

• 두 인수의 곱: -33
• 두 인수의 합: 8

이제 후보를 대입해 보니 1과 -33의 합은 -32이고, 11과 -3의 합은 8이었다. 따라서

x²+8x-33=(x+11)(x-3)

이라고 선택할 수 있었다. 이미 바르게 계산한 넓이식 x²+8x-33은 그대로 두고, 인수를 고르는 순간에 곱과 합을 함께 확인한 것이다. 이 과정에서는 근의 공식이나 다른 단원으로 나아가지 않고, 넓이에서 나온 다항식을 인수분해하는 판단만 다루었다.

표현을 바꾼 새 넓이 관계

며칠 뒤에는 숫자만 바꾼 문제가 아니라, 도형의 식이 직접 주어지는 형태를 제시했다. 한 직사각형을 네 부분으로 나누었을 때 전체 넓이를 정리한 결과가 x²-2x-24이고, 이를 두 길이의 곱으로 나타내라는 문제였다. 학생은 먼저 식의 부호를 확인한 뒤, 곱이 -24이고 합이 -2인 두 수를 찾았다.

-6×4=-24,　-6+4=-2
x²-2x-24=(x-6)(x+4)

이번에는 완성 풀이를 보지 않은 상태에서 두 조건을 나란히 적었다. 앞선 문제처럼 도형의 가로와 세로가 식으로 제시된 모양이 아니라, 전체 넓이를 전개한 식에서 거꾸로 두 길이의 곱을 찾는 표현이었지만, 인수분해의 기준은 바뀌지 않았다.

힌트 없이 확인한 마지막 기록

마지막에는 새 문제를 주고 어떤 수를 먼저 확인해야 하는지 묻지 않았다. 직사각형 넓이 관계를 정리한 식이

x²+5x-14

로 주어졌고, 이를 두 일차식의 곱으로 나타내게 했다. 학생은 잠시 식을 바라본 뒤 “인수 두 수의 곱은 -14, 합은 5여야 한다”고 설명했다. 7과 -2를 선택하여

x²+5x-14=(x+7)(x-2)

라고 쓴 다음, 직접 전개해 x²+5x-14가 다시 나오는지 확인했다. 곱 조건만 맞는 수를 고르는 대신 곱과 합을 모두 만족하는지 먼저 판단했고, 전개 결과가 원래 넓이식과 같은지도 검산했다. 덕명동중3수학과외에서 확인하고 싶었던 변화는 바로 이처럼 도형에서 나온 식을 인수분해할 때 선택의 근거를 스스로 남기는 모습이었다.