노은지구 고2수학과외







다음 날 다시 본 등비중항 풀이
노은지구과외 수업에서 학생은 전날 구한 등비중항을 다시 검토하다가 답지의 \(4\)와 자신의 \(\pm4\)가 다르다는 점을 발견했다. 계산 자체보다 중요한 것은 수열이 양수라는 조건을 끝까지 적용했는지였다.
검증 장면에서 발견한 부호 오류
양수인 두 끝 항이 \(a=2\), \(c=8\)일 때 양의 등비중항 \(b\)를 구하는 문제를 살펴보자.
세 항이 등비수열이면 가운데 항의 제곱은 양끝 항의 곱과 같다.
\[ b^2=ac=2\cdot8=16 \]
따라서 형식적으로는
\[ b=\pm\sqrt{16}=\pm4 \]
까지 얻는다. 처음 풀이에서는 여기서 \(\pm4\)를 모두 답으로 적었지만, 문제의 수열은 양수 등비수열이다. 그러므로 중항도 양수여야 하며, 실제 답은
\[ \boxed{b=4} \]
왜 음의 근을 제외하는가
기하평균과 등비중항의 조건
양수 \(a,c\)의 기하평균은 \(\sqrt{ac}\)로 정의한다. 음의 근까지 포함하는 \(\pm\sqrt{ac}\)는 방정식 \(b^2=ac\)의 해를 모두 나타낼 뿐, 양의 기하평균 자체를 뜻하지는 않는다.
이 문제에서 \(b=-4\)를 대입하면 \(2,-4,8\)이 된다. 비는 \(-2\), \(-2\)로 같으므로 등비수열이기는 하다. 그러나 세 항이 모두 양수라는 조건을 만족하지 않는다.
교정 전후 비교
| 구분 | 풀이 | 판정 |
|---|---|---|
| 교정 전 | \(b=\pm\sqrt{2\cdot8}=\pm4\) | 양수 조건을 반영하지 않음 |
| 교정 후 | \(b=\sqrt{2\cdot8}=4\) | 양의 등비중항에 맞음 |
새 문제로 적용한 최종 확인
양끝 항이 주어진 경우
양수 등비수열의 세 항이 \(x,\,12,\,y\)이고 \(x=3\), \(y=48\)이라고 하자. 가운데 항이 실제로 등비중항인지 확인하면
\[ 12^2=144,\qquad 3\cdot48=144 \]
두 값이 같으므로 \(12\)는 \(3\)과 \(48\)의 양의 등비중항이다.
반대로 양끝 항만 주어졌다면 먼저
\[ b^2=xy \]
를 세운 뒤, 문제에서 양수 조건을 요구하는지 확인해야 한다. 양수 등비중항이라면 항상
\[ \boxed{b=\sqrt{xy}} \]
를 선택한다. 부호를 결정하는 마지막 조건까지 확인하는 것이 대전고3수학과외에서 강조할 핵심 검산이다.