노은지구 중1수학과외

노은지구 생활권에서 살펴본 방정식과 항등식의 차이

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어떤 수에 3을 더한 뒤 2를 곱하면 14가 된다. 어떤 수를 구하여라.

학생은 문제를 읽고 곧바로 2(x+3)=14를 적었다. 괄호를 먼저 계산해야 한다고 생각해 2x+3=14로 바꾼 뒤, 2x=11, x=5.5라고 정리했다. 계산 과정은 빠르지만, 이 풀이가 어긋난 지점은 나눗셈이 아니라 식을 옮겨 적는 순간이었다.

계산보다 먼저 등식의 성격을 확인하다

학생은 ‘어떤 수’가 아직 정해지지 않은 값이므로 x로 나타내고, 문장 속 ‘3을 더한 뒤 2를 곱한다’는 순서를 괄호에 보존해야 했다. 따라서 2(x+3)=14에서 왼쪽을 전개하면 2x+6이 되어야 한다. 학생이 2x+3으로 적은 것은 2가 괄호 안의 3까지 곱해지지 않았기 때문이다.

여기서 2(x+3)=14는 x에 따라 참일 수도 있고 거짓일 수도 있는 방정식이다. 반면 2(x+3)=2x+6은 x에 어떤 수를 넣어도 양변이 같으므로 항등식이다. 학생은 두 식 모두 등호가 있다는 이유만으로 같은 종류라고 보았지만, 미지수의 값에 따라 참이 달라지는지 먼저 구분해야 했다.

교정은 한 가지로 좁혔다. 계산을 시작하기 전에 등호 양쪽을 보고, 미지수의 값을 정해야 하는 식인지 모든 값에서 성립하는 식인지 표시하게 했다. 학생은 방정식에는 동그라미로 x를 표시하고, 항등식에는 ‘항상 참’이라고 짧게 적었다. 그 뒤 원래 식에서 양변에 6을 빼고 2로 나누었다.

2x+6=14
2x=8
x=4

구한 값 4를 처음 식에 넣자 2(4+3)=14, 즉 14=14가 되었다. 잘못 적었던 2x+3=14에 x=5.5를 넣으면 왼쪽은 14가 되지만, 그것은 원래 식이 아니라 바뀌어 버린 식에서 나온 결과였다. 학생은 검산할 때 반드시 처음 제시된 등식으로 돌아가야 한다는 점을 확인했다.

문장과 식의 모양이 달라져도 같은 기준으로 읽기

다음 문제에서는 식을 바로 주지 않고 조건을 바꾸었다.

한 수의 3을 뺀 값에 4를 곱했더니 그 수의 4배보다 12만큼 작았다. 이 조건을 식으로 나타내고, 방정식인지 항등식인지 판단하여라.

학생은 ‘한 수’를 x로 정한 뒤 왼쪽을 4(x-3), 오른쪽을 4x-12로 나타냈다. 두 식을 연결하면 4(x-3)=4x-12이다. 이번에는 특정한 x를 찾는 식이 아니라 괄호를 풀었을 때 양변이 언제나 같아지는 식이다. 학생은 4(x-3)=4x-12에서 양변을 정리해 4x-12=4x-12가 된다는 것을 직접 적고 항등식이라고 판단했다.

표현이 문장에서 식으로 바뀌었지만, 학생은 숫자만 계산하지 않고 ‘미지수의 값을 정해야 하는가’를 다시 물었다. 이어서 “어떤 수에 0.5를 더한 값의 2배가 그 수의 2배보다 1만큼 크다”라는 조건도 식으로 바꾸었다. 2(x+0.5)=2x+1이므로 이 역시 모든 x에서 성립하는 항등식임을 설명했다. 분수가 들어간 경우에도 먼저 괄호와 곱셈의 대상을 확인하고, 특정 값을 구하라는 조건이 있는지 살폈다.

힌트 없이 원래 판단을 다시 세우다

수업 끝에 학생에게 다음 식만 제시하고 풀이 과정을 가렸다.

3(x+2)=21

학생은 먼저 “x의 값을 정해야 하므로 방정식”이라고 말한 뒤, 3x+6=21, 3x=15, x=5를 적었다. 이어 3(5+2)=21이므로 21=21이라고 검산했다. 그 다음 3(x+2)=3x+6은 항등식이라고 비교하며, 이 식은 x를 하나로 정하는 것이 아니라 괄호를 풀어도 항상 같은 식을 나타낸다고 설명했다.

학생은 마지막에 “값을 구해야 하면 방정식, 어떤 값을 넣어도 양변이 같으면 항등식”이라고 스스로 정리하고, 각각의 원래 식에 값을 대입해 판단 근거까지 확인했다.