노은지구 중2수학과외

노은지구 중2수학과외에서 확인한 일차부등식의 첫 판단

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계산보다 먼저 표시한 것

문제는 다음과 같았다.

3x-5 < 10

학생은 문제 옆에 부등호 방향을 동그라미로 표시하고, 수직선에는 경계가 되는 수를 찾아 표시하려 했다. 양변에 5를 더해 3x<15까지 적은 뒤, 양변을 3으로 나누어 x<5라고 정리했다. 여기까지는 각 항을 한 줄씩 옮기며 계산했고, 마지막에는 x=4를 넣어 3×4-5=7, 7<10임을 확인했다. 또 x=6을 넣으면 13<10이 거짓이므로 5보다 작은 쪽이 해라는 점도 적었다.

하지만 분수가 포함된 식에서는 같은 확인을 하려다 계산 순서가 흔들렸다.

결과가 아니라, 결과를 만들기 전의 선택

학생이 푼 다음 문제는 다음과 같았다.

1/2x+3 > 5

학생은 먼저 3을 없애 1/2x>2라고 쓴 뒤, x>4를 얻었다. 그런데 풀이를 거꾸로 살펴보니 최초의 어긋남은 마지막 답을 잘못 읽은 것이 아니었다. 분모를 없애려고 할 때 식 전체의 모든 항에 같은 수를 곱하지 않고, x가 포함된 항에만 2를 적용하려고 한 판단이 먼저 문제를 만들었다. 부등식의 양변과 각 항을 하나의 식으로 보지 않고 일부 항만 따로 처리한 것이다.

한 가지 행동만 바로잡기

교정에서는 다른 풀이법을 덧붙이지 않고, 분모를 없앨 때 식의 양변 전체에 같은 수를 곱한다는 행동만 다시 세웠다. 이 문제에서는 양변에 2를 곱해

2×(1/2x+3) > 2×5

로 적었다. 괄호를 풀면 x+6>10, 따라서 x>4가 된다. 학생은 양변 전체에 곱한 2가 1/2x뿐 아니라 +3과 오른쪽 5에도 적용된 것을 표시했다. 이번에는 양수 2를 곱했으므로 부등호 방향은 그대로라는 점도 옆에 짧게 기록했다. 이미 맞게 했던 ‘3을 없애기 위해 양변에 같은 수를 더하는 과정’은 그대로 유지했다.

식이 아닌 수직선에서 다시 판단하기

표현을 바꾼 문제에서는 식을 바로 계산하지 않고 수직선 그림부터 읽었다. 수직선에서 4에 열린 점이 있고 오른쪽으로 선이 뻗어 있는 그림을 제시한 뒤, 이를 부등식으로 나타내고 이유를 쓰게 했다. 학생은 열린 점이므로 4는 포함되지 않고, 오른쪽 방향이므로 4보다 큰 수를 뜻한다고 적어 x>4라고 답했다.

이어 질문의 방향을 바꾸어 “어떤 수를 경계로 해가 나뉘며, 해가 아닌 쪽의 예를 하나 고르라”고 했다. 학생은 경계값 4를 먼저 적고, 해가 아닌 쪽에서 3을 골랐다. 원래 식에 3을 넣어 1/2×3+3=4.5, 4.5>5는 거짓이라고 계산했다. 반대쪽의 6도 넣어 1/2×6+3=6, 6>5가 참임을 확인했다. 숫자만 바꾼 문제가 아니라 식을 수직선으로 바꾸고, 정답 대신 경계와 양쪽의 판정을 설명하는 방식이었다.

도움 없이 재현한 최종 확인

마무리 문제는 학생이 풀이 순서를 스스로 정하도록 했다.

2/3x-1 ≤ 3

학생은 먼저 “분모 3을 없애려면 양변 전체에 양수 3을 곱해야 하므로 부등호 방향은 바뀌지 않는다”고 말했다. 이어 2x-3≤9, 2x≤12, x≤6으로 정리했다. 수직선에는 6에 닫힌 점을 찍고 왼쪽을 표시했다.

검산에서도 도움을 요청하지 않았다. 경계값 6을 원래 식에 넣어 2/3×6-1=3, 3≤3이 참이라고 적었다. 범위 안쪽의 5를 넣으면 7/3≤3으로 참이고, 범위 바깥의 7을 넣으면 11/3≤3으로 거짓이라고 비교했다. 학생은 “경계값은 닫힌 점이라 포함되고, 양변에 곱한 수가 양수라 방향을 유지했으며, 양쪽에서 넣은 수의 결과도 수직선과 일치한다”고 직접 설명했다.