원주 중등수학과외

원주중등수학과외, y=x+13과 y=-x+17의 교점이 공통 해인 이유 확인하기

일차함수의 교점 문제에서는 좌표를 구하는 계산만 맞아도 중요한 출발점이 됩니다. 다만 y=x+13과 y=-x+17의 교점이 (2,15)일 때, x좌표 2뿐 아니라 y좌표 15도 왜 두 직선에 공통으로 놓이는지 설명할 수 있어야 합니다. 이 문제에서 구하는 것은 두 직선이 만나는 한 점의 좌표이며, 만나는 점은 두 식을 동시에 만족해야 한다는 조건이 답을 결정합니다. 원주중등수학과외 수업에서는 맞힌 답을 다시 오답처럼 다루기보다, 식·직선·교점의 연결을 풀이 기록으로 확인하는 데 초점을 둡니다.

두 식의 y값을 같게 놓는 이유

교점에서는 같은 x값에서 첫째 직선의 y값과 둘째 직선의 y값이 같습니다. 따라서 x+13=-x+17로 놓을 수 있습니다. 양변에 x를 더하면 2x+13=17, 다시 13을 빼면 2x=4이므로 x=2입니다. 여기서 계산을 멈추지 않고 원래 식 y=x+13에 대입하면 y=2+13=15입니다. 다른 식에도 대입해 y=-2+17=15가 됩니다. 즉 (2,15)는 첫째 식에서 15=2+13을, 둘째 식에서 15=-2+17을 모두 만족합니다. x=2에서 두 직선의 높이가 모두 15이므로, y좌표 15 역시 공통이라는 점이 교점과 공통 해의 연결입니다.

맞힌 순서쌍에 근거를 덧붙이는 방법

정답 (2,15)을 알고 있다고 해서 설명까지 자동으로 완성되는 것은 아닙니다. 풀이 옆에 x+13=-x+17이라고 표시하고, 이 식이 ‘두 직선의 y값이 같은 위치’를 뜻한다는 말을 붙여 보게 합니다. 이어서 구한 순서쌍의 x와 y를 각각 두 원래 식에 넣어 네 값이 아닌 두 개의 같은 등식으로 확인합니다. “교점의 y좌표도 두 직선에서 같은가요?”라는 질문에는 “같은 x=2를 넣었을 때 두 식 모두 y=15가 되므로 같다”라고 식과 함께 답할 수 있습니다. 말로 길게 설명하기 어렵다면 두 직선이 만나는 점에서 가로선 y=15가 두 식에 닿는다는 간단한 그림이나 대입식으로 관계를 나타내도 됩니다.

두 번째 직선이 바뀌었을 때 달라지는 좌표

비교 과제에서는 첫째 식 y=x+13은 그대로이고, 둘째 식만 y=-x+19로 바뀝니다. 따라서 기울기 1과 -1은 유지되지만 둘째 직선의 y절편이 17에서 19로 커졌다는 변화가 있습니다. 교점에서는 다시 x+13=-x+19이므로 2x=6, x=3입니다. y=3+13=16이어서 교점은 (3,16)입니다. 검산하면 첫째 식은 16=3+13, 둘째 식은 16=-3+19가 되어 모두 성립합니다. 두 번째 직선을 위로 2만큼 옮겼으므로 교점이 x방향으로 1, y방향으로 1 이동한 까닭도 두 식을 같게 놓은 계산에서 확인할 수 있습니다.

다음 확인에서는 기본 문제의 답을 가린 뒤 (2,15)가 두 식을 만족하는 이유를 대입식으로 복원하게 하고, 이어 비교 과제를 도움 없이 풀게 합니다. (3,16)만 말하는지보다 x+13=-x+19를 세운 뒤 두 원래 식에 대입하는지 살펴보면, 교점을 단순한 계산 결과가 아니라 두 일차방정식의 공통 해로 이해하는지 확인할 수 있습니다.