원주 중1수학과외
조건의 순서가 바뀌어도 순서쌍을 읽는 방법
원주혁신도시와 기업도시가 이어지는 생활권, 섬강중학교가 포함된 지역에서 학생과 함께 순서쌍 문제를 살펴보았다. 원주과외 수업에서 다룬 문제는 다음과 같았다.
다음 조건을 모두 만족하는 순서쌍 (x, y)를 찾으시오.
① x는 1 이상 4 이하의 정수이다.
② y는 x보다 2 크다.
학생은 문제를 읽자마자 가능한 수를 먼저 적었다. 종이에 (1, 3), (2, 4), (3, 5), (4, 6)을 쓴 뒤, “x와 y를 바꾸어도 조건을 만족할 것 같다”고 말했다. 그래서 답을 (3, 1), (4, 2), (5, 3), (6, 4)로 다시 적으려 했다.
답이 바뀌기 시작한 한 줄
계산 자체보다 먼저 어긋난 부분은 순서쌍의 첫 번째 수와 두 번째 수를 확인하지 않은 것이었다. 학생은 ‘두 수가 2만큼 차이 난다’는 점만 보고 앞뒤를 바꾸어도 된다고 판단했다. 그러나 조건 ①은 첫 번째 자리인 x에만 붙어 있었다. 따라서 두 수의 차이만 같다는 이유로 순서를 바꿀 수 없었다.
풀이를 지우지 않고, 각 자리에 이름을 붙여 다시 정리했다.
- (x, y)의 첫 번째 수에 x를 표시한다.
- 첫 번째 수는 1, 2, 3, 4 중 하나만 될 수 있다.
- 각 x에 대하여 두 번째 수 y는 x보다 2 큰 수로 정한다.
- 따라서 (1, 3), (2, 4), (3, 5), (4, 6)이 나온다.
이제 뒤집은 순서쌍 (3, 1)을 조건에 넣어 보았다. 첫 번째 수 x가 3이면 두 번째 수는 5여야 하는데 실제 두 번째 수는 1이었다. (4, 2)도 x가 4일 때 y가 6이어야 하므로 조건을 만족하지 않는다. 순서쌍에서는 두 수의 관계뿐 아니라 어느 수가 첫 번째 자리에 놓였는지도 조건의 일부라는 점을 확인했다.
식이 아닌 표와 질문으로 바꾸어 보기
같은 개념을 다른 모양으로 제시했다. 이번에는 식을 먼저 주지 않고 다음 표의 빈칸을 채우게 했다.
| x | 1 | 2 | 3 | 4 |
| y | □ | □ | □ | □ |
학생은 문제의 문장을 다시 읽고 첫째 줄의 수를 순서쌍 첫 번째 자리에, 둘째 줄의 수를 두 번째 자리에 대응시켰다. 빈칸에 3, 4, 5, 6을 채운 뒤 (1, 3), (2, 4), (3, 5), (4, 6)으로 바꾸어 적었다.
이번에는 질문 방향을 바꾸었다.
순서쌍 (x, y)가 (2, 4), (3, 5), (4, 6) 중 하나일 때, 첫 번째 수가 3인 순서쌍을 고르시오.
학생은 보기의 두 수를 무작정 비교하지 않고 첫 번째 자리만 먼저 확인했다. (3, 5)를 고른 다음, 두 번째 수 5가 첫 번째 수 3보다 2 큰지도 확인했다. 반대로 “두 번째 수가 4인 순서쌍”을 묻는다면 (2, 4)라고 답해야 하며, 질문이 바뀌면 확인할 자리도 달라진다고 설명했다. 단위가 붙은 자료로 바꾸어도 순서는 같았다. 가로 위치를 x, 세로 위치를 y로 정한 표에서 (2m, 4m)는 첫 번째 값이 2m, 두 번째 값이 4m인 순서쌍으로 읽었다.
힌트 없이 다시 세운 풀이
수업 끝에는 새 조건을 제시했다.
순서쌍 (x, y)에서 x는 2 이상 5 이하이고, y는 x보다 1 작다. 가능한 순서쌍을 모두 구하시오.
학생은 도움을 기다리지 않고 “첫 번째 자리가 x이므로 2, 3, 4, 5를 차례로 놓는다”고 적었다. 이어서 두 번째 자리를 각각 1, 2, 3, 4로 정해 (2, 1), (3, 2), (4, 3), (5, 4)를 완성했다.
검산할 때도 순서를 바꾸지 않았다. (2, 1)은 첫 번째 수가 조건 범위에 있고 두 번째 수가 1 작으므로 맞지만, (1, 2)는 첫 번째 수가 범위 밖이며 두 번째 수가 오히려 1 크므로 틀리다고 설명했다. 원주중1수학과외에서 확인한 최종 기준은 간단했다. 첫 번째 자리에 무엇이 들어가는지 먼저 읽고, 두 번째 자리가 그 조건에 맞는지 확인한 뒤, 완성한 순서쌍을 원래 문장에 다시 넣는다.