원주 고등수학과외

원주 고등수학과외에서는 극한 단원에서 자주 보이는 ‘가까이 다가갈 때의 값’과 ‘그 점에서 실제로 정해진 함수값’을 분리해 읽는 연습이 필요하다. 원주고등학교나 북원여자고등학교 학생과 문제를 풀 때도 그래프의 뚫린 점과 채워진 점을 한눈에 구별하는 데서 풀이가 갈린다. 무실지구와 원주혁신도시 생활권에서는 통학 후 짧은 시간에 문제를 푸는 경우가 많아, 답을 고른 근거를 풀이 옆에 남기는 습관이 특히 유용하다.

극한값과 함수값이 갈라지는 순간

학생에게 다음과 같은 그래프를 보여 주었다. x가 2에 가까워질 때 그래프의 양쪽 선은 y=5로 모이지만, x=2에는 빈 원이 있고 그보다 위인 y=7에 검은 점이 찍혀 있다. 학생은 곧바로 “극한이 7이고 함수값도 7”이라고 적었다. 눈에 가장 잘 띄는 채운 점을 실제 도착값으로 착각한 것이다.

풀이를 멈추고 질문을 바꾸었다. “x가 2와 같아지는 순간을 묻고 있나, 2에 가까워지는 동안 그래프가 어디로 모이는지를 묻고 있나?” 학생은 그래프의 선을 따라 손가락을 움직인 뒤, 좌우에서 모두 5로 접근한다는 사실을 확인했다. 따라서

lim x→2 f(x)=5, f(2)=7

로 따로 써야 한다. 빈 원은 그 위치의 함수값이 정해져 있지 않다는 표시일 수 있고, 채운 점은 실제 함수값을 나타낸다. 두 점의 높이가 다르면 극한값과 함수값도 달라진다.

첫 오답을 기록으로 되돌려 보기

처음 풀이에서 학생은 문제를 읽은 뒤 40초 만에 보기 ③을 골랐지만, 그래프에서 채운 점을 확인한 뒤 극한을 판단했다는 메모는 남기지 않았다. 시간을 다시 적게 하자 ‘문제의 기호 확인 10초, 좌우 접근 확인 15초, 채운 점 확인 10초, 답 선택 5초’로 나뉘었다. 이 기록을 대조하면서 어느 단계에서 개념이 뒤섞였는지 드러났다.

교정할 때는 맞는 예와 반례를 나란히 놓았다. 그래프가 양쪽에서 4로 모이고 f(3)=4인 경우에는 극한값과 함수값이 우연히 같지만, 양쪽에서 4로 모이는 동안 f(3)=9로 지정된 경우에는 서로 다르다. 반대로 좌극한과 우극한이 각각 2와 5라면 채운 점의 높이가 무엇이든 양쪽 극한은 존재하지 않는다. 학생은 ‘채운 점이 있다’와 ‘극한이 존재한다’를 같은 말로 처리하던 습관을 문장으로 고쳐 썼다.

표현을 바꾼 새 문제에서 혼자 적용하기

다음 날에는 그래프 대신 식과 보기 형식을 바꾸었다.

f(x)=x+1 (x≠3), f(3)=10일 때 lim x→3 f(x)와 f(3)을 각각 구하여라.

학생은 먼저 x≠3인 부분식에 3을 대입해 극한값 4를 구하고, 별도로 정의된 f(3)=10을 적었다. 이어 “x가 3에 가까워질 때는 x+1의 값을 따르며, x=3에서만 함수값이 10으로 바뀐다”고 설명했다. 보기 없이 답을 쓰게 하니 채운 점의 위치를 먼저 찾던 풀이가 줄고, 기호의 조건을 읽는 시간이 늘었다.

적분 기호가 나와도 질문을 분리하기

비슷한 혼동은 ∫₀¹³ f(x)dx가 등장하는 문제에서도 나타날 수 있다. 학생이 적분 기호를 보자마자 특정한 한 점의 함수값을 대입하려 했지만, 정적분은 구간 전체에서 함수가 만드는 누적량을 다루는 표현이다. 반면 f(13)은 x=13에서의 한 점의 값이고, lim x→13 f(x)는 13에 가까워질 때의 값이다. 세 표현을 같은 칸에 놓지 않고 각각 ‘구간’, ‘한 점’, ‘접근’으로 분류하게 했다.

마지막으로 그래프에서 읽은 극한값 5를 원래 식에 다시 대입해 확인했다. 식이 x≠2에서 f(x)=x+3이라면 x=2를 대입한 값은 5이고, 따로 f(2)=7이라고 정의했으므로 두 결과가 다르게 나오는 것이 오답의 증거가 아니라 함수의 정의를 보여 주는 근거가 된다. 이 재대입 검산을 통해 학생은 극한값만 보고 함수값까지 같다고 단정하는 반례를 스스로 찾아냈다.

자주 묻는 질문

구멍이 있으면 극한은 항상 존재하나요?
좌우에서 같은 값으로 가까워질 때만 존재한다. 구멍의 유무만으로 결정되지 않는다.
채운 점이 극한값과 다르면 함수가 잘못된 것인가요?
그렇지 않다. 한 점의 함수값을 따로 정한 함수도 가능하다.
f(a)를 구할 때 주변 그래프를 봐도 되나요?
f(a)는 x=a에서 채워진 점이나 함수의 정의를 확인해야 한다.
극한과 정적분은 어떤 점이 다른가요?
극한은 특정 값에 가까워지는 변화를, 정적분은 주어진 구간 전체의 누적을 다룬다.
답을 고르기 전 무엇을 적으면 좋나요?
‘좌우 접근값’, ‘실제 함수값’, ‘문제가 요구한 표현’을 세 줄로 나누어 적으면 혼동을 줄일 수 있다.